圆的有关概念与性质圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是 90°,90°所对的弦是直径。
7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。
9.圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种:①点在圆外,②点在圆上,③点在圆内;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为:①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种:①相交,②相切,③相离;对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为:①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种:①内含,②相内切,③相交,④相外切,⑤外离;两圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为:①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。
与圆有关的计算1.圆的周长为 2πr ,1°的圆心角所对的弧长为 180rπ ,n °的圆心角所对的弧长为 180rn π ,弧长公式为180rn l π=n 为圆心角的度数上为圆半径) .2. 圆的面积为 πr 2,1°的圆心角所在的扇形面积为 3602r π ,n °的圆心角所在的扇形面积为S= 360n2R π⨯ = rl 21(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径). 3.圆柱的侧面积公式:S= 2 πr l (其中为 底面圆 的半径 ,为 圆柱 的高.)4. 圆锥的侧面积公式:S=(其中为 底面 的半径 ,为 母线 的长.) 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积测试题一、选择题(每小题3分,共45分)1.在△ABC 中,∠C=90°,AB =3cm ,BC =2cm,以点A 为圆心,以2.5cm 为半径作圆,则点C 和⊙A 的位置关系是( )。
A .C 在⊙A 上 B.C 在⊙A 外C .C 在⊙A 内 D.C 在⊙A 位置不能确定。
2.一个点到圆的最大距离为11cm ,最小距离为5cm,则圆的半径为( )。
A .16cm 或6cm B.3cm 或8cm C .3cm D.8cm 3.AB 是⊙O 的弦,∠AOB =80°则弦AB 所对的圆周角是( )。
A .40° B.140°或40° C .20° D.20°或160° 4.O 是△ABC 的内心,∠BOC 为130°,则∠A 的度数为( )。
A .130° B.60° C .70° D.80°5.如图1,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别是D 、E 、F ,已知∠A = 100°,∠C = 30°,则∠DFE 的度数是( )。
A .55° B.60° C .65° D.70°6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树,且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在( )。
A . A 处 B . B 处 C .C 处 D .D 处图1 图27.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是( )。
A .内含 B.内切 C .相交 D. 外切 8.已知半径为R 和r 的两个圆相外切。
则它的外公切线长为( )。
A .R +r B.R 2+r 2C .R+r D.2Rr 9.已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为( )。
A.10π B .12π C.15π D.20π 10.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( )。
A .3B .4C .5D .6 11.下列语句中不正确的有( )。
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A .3个 B.2个 C .1个 D.4个 12.先作半径为23的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为( )。
A .7)332(B.8)332( C .7)23( D.8)23(13.如图3,⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,⊙O 内切于⊿ABC ,则阴影部分面积为( )A .12-π B.12-2π C .14-4π D.6-π14.如图4,在△ABC 中,BC =4,以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ,交AB于E ,交 AC 于F ,点P 是⊙A 上的一点,且∠EPF =40°,则图中阴影部分的面积是( )。
A .4-94π B .4-98π C .8-94π D .8-98π15.如图5,圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ,AC 、BD 交于E ,则图中相似三角形有( )。
A .2对 B.3对 C .4对 D.5对图3 图4 图5二、填空题(每小题3分,共30分)1.两圆相切,圆心距为9 cm ,已知其中一圆半径为5 cm ,另一圆半径为_____.2.两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为_________。
3.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。
4.同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。
5.矩形ABCD 中,对角线AC =4,∠ACB =30°,以直线AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。
6.扇形的圆心角度数60°,面积6π,则扇形的周长为_________。
7.圆的半径为4cm ,弓形弧的度数为60°,则弓形的面积为_________。
8.在半径为5cm 的圆内有两条平行弦,一条弦长为6cm ,另一条弦长为8cm ,则两条平行弦之间的距离为_________。
9.如图6,△ABC 内接于⊙O,AB=AC ,∠BOC=100°,MN 是过B 点而垂直于OB 的直线,则∠ABM=________,∠C BN=________;10.如图7,在矩形ABCD 中,已知AB=8 cm ,将矩形绕点A 旋转90°,到达A ′B ′C ′D ′的位置,则在转过程 中,边CD 扫过的(阴影部分)面积S=_________。
图6 图7三、解答下列各题(第9题11分,其余每小题8分,共75分)1.如图,P 是⊙O 外一点,PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D 。
(1)PO 平分∠BPD ; (2)AB=CD ;(3)OE ⊥CD ,OF ⊥AB ;(4)OE=OF 。
从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明。
ABPO E FCD2.如图,⊙O 1的圆心在⊙O 的圆周上,⊙O 和⊙O 1交于A ,B ,AC 切⊙O 于A ,连结CB ,BD 是⊙O 的直径,∠D =40°求:∠A O 1B 、∠ACB 和∠CAD 的度数。
3.已知:如图20,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC ,BC=43,以A 为圆心,2为半径作⊙A ,试问:直线BC 与⊙A 的关系如何?并证明你的结论。
AB C4.如图,ABCD 是⊙O 的内接四边形,DP ∥AC ,交BA 的延长线于P ,求证:AD ·DC =PA ·BC 。
5.如图⊿ABC 中∠A =90°,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,E 为AC 边中点,求证:DE 是⊙O 的切线。
6.如图,已知扇形OACB 中,∠AOB =120°,弧AB 长为L =4π,⊙O ′和弧AB 、OA 、OB 分别相切于点C 、D 、E ,求⊙O 的周长。
7.如图,半径为2的正三角形ABC 的中心为O ,过O 与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积。
AB CDO图③图②图①B MP P EED D B C B C AA N M P E D C A8.如图,ΔABC 的∠C =Rt ∠,BC =4,AC =3,两个外切的等圆⊙O 1,⊙O 2各与AB ,AC ,BC 相切于F ,H ,E ,G ,求两圆的半径。
9.如图①、②、③中,点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点,且BE = CD ,DB 交AE 于P 点。
⑴求图①中,∠APD 的度数;⑵图②中,∠APD 的度数为___________,图③中,∠APD 的度数为___________; ⑶根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n 边形情况.若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由。
参考答案一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C 二、1、4 cm 或 14cm ; 2、9π; 3、32π,34π; 4、4:3;5、)3824(+π;6、12+2π;7、(38π-34)cm 2;8、7cm 或1cm ; 9、65°,50°;10、16πcm 2。
三、1、命题1,条件③④结论①②, 命题2,条件②③结论①④.证明:命题1∵OE ⊥CD , OF ⊥AB, OE=OF ,∴AB=CD, PO 平分∠BPD 。