计算方法试题A 答案大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-102求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。

1． 设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示为()()33323111)(+++-+++=x c x c x c x s 。

4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f 6 ,=]2,1,0[f 0 ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为x 6。

5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为：1121---⨯-=+k k x k x k k e x e x x 。

姓名： 学号：院系：班级： 授课教师：张宏伟装订线6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100000或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000010；7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ()A ρ；8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为：()211111+++-++=n n n n t h ht u u 。

9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 5 位有效数字；10．将()T 4,3=x ，化为()T0,5=y 的Householder 矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453； 11．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=kk 0105.00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为()2,1，进行二步后根所在区间为()2,5.1。

13．若()()∑⎰=≈nk k k x f A dx x f 01()2≥n 为Newton-Cotes 求积公式，则=∑=nk k k x A 021，若为Gauss 型求积公式，则=∑=n k k k x A 0451。

14．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122151A ，则在Schur 分解H URU A =中，R 可取为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001。

15．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A ，则=tA e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t , =t e t d d A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010。

二、（8分）已知近似值21.11=a ，65.32=a ，81.93=a 均为有效数字，试估计算术运算3213a a a a ⋅+的相对误差界。

解：由已知，21110211021--⨯=⨯≤-n k a x ；2221021-⨯≤-a x；2331021-⨯≤-a x。

令()3321321,,x x x x x x x f +⋅=，()3321321,,a a a a a aa f +⋅=，由函数运算的误差估计式 ()-321,,x x x f ()321,,a a a f ≈()()11321,,1a x a a a f x -'+()()22321,,2a x a aa f x -'+()()33321,,3a x a aa f x -'()()()332321223111321a x a a a a x a a a x a a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+-=从而，相对误差可写成()()()≤-321321321,,,,,,a a a f a a a f x x x f 3321332321223111321a a a a a x a aa a x a a a x a a +⋅-⋅-+-+-﹟三、（15分）设线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+74243433212121x xx x x x x （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出)det(A （要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。

解：（1）→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛741240134031→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛741240314013→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛31343103803804013⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛44003803804013 故，()Tx 1,1,1=，324000380013)1()det(-=⨯-=A 。

（2）由于Gauss-Seidel 迭代法的特征值满足：()()=--U D L λd et ()0943*******3223=-=-=λλλλλλλλλλ，则()9,0,0=S -G B λ，故()19>=S -G B ρ，从而Gauss-Seidel 迭代法发散。

又由于Jacobi 迭代法的迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=04121003030J B ，()=-J B I λdet ()99412103323-=-=λλλλλλλ，则()3,3,0-=J B λ，故()13>=J B ρ，从而Jacobi 迭代法发散。

（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=741240314013~A 是严格对角占有的，故Jacobi 和Gauss-Seidel迭代法均收敛。

且新的方程组与原方程组同解。

Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式分别为： ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=+++)(2)(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431k k k k k k k x x x x x x x 和 ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=++++++)1(2)1(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431k k k k k k k x x x x x x x #四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题),()(u t f t u ='，00)(u t u =的数值方法()n n n n n n f f f hu u u ++=--++++12128382121①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解u u 20-='，1)0(=u 。

为使方法绝对稳定，求出步长h 的取值范围并以10=u ，11=u 初值，01.0=h 为步长，求出)02.0(u 的近似值2u 。

解：（1）注意，83,1,81,1,21,21210210====-=-=βββααα，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯+-+-==⨯+-+-==⨯+-+-==++--==+--=481)8321(!31)221(!410)8321(21)221(610)8321()421(210)83181(212012121344233210C C C C C 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：)(481)4(4n t u h -。

（2）令，()02112121)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=λλλλλρ，得11=λ，212-=λ，满足根条件；又方法阶13>=p ，故此差分格式收敛。

（3）又对于模型问题：u u μ='(0<μ), 取h h μ=0831********1812121831)()(22=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-h h h h h h h h λλλλλσλρ而要使得 1<λ 的充要条件为：238418318121183121<-+-=-+-<-+h h h h h h而 23841<-+-h h 自然成立。

现在再由 hhh h 38443884--<-+得h h h 448444-<+<+-⇔h h h -<+<+-1211由 h h 211+<+-，可推出02<<-h ，即()0,2-∈h 。

#五、（15分）（1） 用Schimidt 正交化方法，构造[1,1]-上以1)(≡x ρ权函数的正交多项式系：)(0x φ，)(1x φ，)(2x φ，)(3x φ;（2）构造计算11(),f x dx -⎰ 具有5次代数精度的数值求积公式；（3） 利用2)的结果求出⎰40sin dx xx的数值解。

解：由⇒=+512n 2=n ，即应构造具有3个Gauss 点的求积公式。

首先 构造3次正交多项式，令()==323052052032032013202x x x x φ()05205203203201-+x 05205203232022052003203202x -35203203203202x +3278158x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+258458825454525271515273⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=x xx x 22532135323-=；令()03=x φ即得，()02251135122511351233=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x x φ，得532251352,0±=±=x，01=x 取()1=x f ，x ，2x ，令 ()dx x f ⎰-11()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=53053210f A f A f A 即得到方程组：2102A A A ++=，2053530A A +-=，20535332A A += 解之，得9520==A A ，981=A ，从而具有5次代数精度Gauss 求积公式()dx x f ⎰-11()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈53950985395f f f （2）()t x +=12，则有()()()dt t f dx x f ⎰⎰-+=114122()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈53125285312592f f f dx x x ⎰40sin ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈53125312sin 52sin 1653125312sin 592 15210515210sin 9502sin 93215210515210sin 950+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈()(361050515210sin 2sin 128151*********sin -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈六、证明题（5分）任选一题1．设n n ⨯∈C B A ,均为可逆矩阵，且齐次线性方程组()0=+x B A 有非零解，证明：对于n n ⨯C 中的任何矩阵范数⋅，都有11≥-B A 。