数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。

4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。

5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。

6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。

9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

14、改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确()x x x f ++=11。

15、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是 4 。

二、单项选择题：1、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6B ． 5C ． 4D ． 73、用 1+x 近似表示e x所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型B ． 观测C ． 截断D ． 舍入4、用1+3x近似表示31x +所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入B ． 观测C ． 模型D ． 截断5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 86、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1731732.≈计算431)x =-，下列方法中哪种最好？（ C ）(A)283- (B)243()-； (C 2423()+；431()+。

三、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V V V L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤= 2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米 试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差'1**1****(),(),()()()0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x n n nx xεεεε--===-≈--=≈==解：由于故故4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？ 解：令()343V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得()()()()()()'23431%43R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤⋅=⋅=≤ 从而得()1300R R ε≤5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。

6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。

试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：h r V 2π=)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325VV V -*=2r r r -*=0.0002第二章 插值法 一、填空题：1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则()()4402ii i xl x =+∑＝(x 4+2).2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则()()5543021ii i i i xx x l x =+++∑=54321x x x +++3.已知]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==+=f f x x f 则，4.2f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。

5.设则＝3,=06.设和节点则= 4.7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函数:i x0.2 0.3 0.4 ()i f x0.040.090.16则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。

9、2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为()()()()()()()211232131222L x x x x x x x =------+--,或2298x x -+-10、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；11、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；12、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l ()2x x --，)(x f 的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=x x x x N 。

13、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则()0nk k l x =∑= 1 ，()nk jkk x l x =∑=jx ，，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( 324++x x )。

14、设一阶差商 ，则二阶差商15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式16、若4321()f x x x=++，则差商2481632[,,,,]f= 3 。

二、单项选择题：1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。

A．–0．5 B． 0．5 C． 2 D． -22、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B) )!1()()()()()1(+=-=+nfxPxfxRnnnξ(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(D))()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn+++=-=ωξx 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x)-2 -1.75 -1 0.25 2 4.25（A）二次；（B）三次；（C）四次；（D）五次ix１ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5()if x-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)； (B)4； (C) ； (D) 2。