传热学大作业报告二维稳态计算院系：能源与环境学院专业：核工程与核技术姓名：***学号：********一、原始题目及要求计算要求：1. 写出各未知温度节点的代数方程2. 分别给出G-S 迭代和Jacobi 迭代程序3. 程序中给出两种自动判定收敛的方法4. 考察三种不同初值时的收敛快慢5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m ℃））6. 绘出最终结果的等值线报告要求：1. 原始题目及要求2. 各节点的离散化的代数方程3. 源程序4. 不同初值时的收敛快慢5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m ℃））6. 计算结果的等温线图7. 计算小结二、各节点的离散化的代数方程左上角节点 )(211,22,11,1t t t +=右上角节点 )(215,24,15,1t t t += 左下角节点 C t ︒=1001,5右下角节点 )2(211,24,55,5λλx h t t x h t ∆++∆+=左边界节点 C t i ︒=1001,，42≤≤i上边界节点 C t j ︒=200,1，42≤≤j右边界节点 )2(415,15,14,5,+-++=i i i i t t t t ，42≤≤i 下边界节点 )42()2(211,51,5,4,5∞+-∆+++∆+=t x h t t t x h t j j j j λλ，42≤≤j 内部节点 )(21,1,11,1,,j i j i j i j i j i t t t t t +-+-+++=，4,2≤≤j i 三、源程序1、G-S 迭代法t=zeros(5,5);t0=zeros(5,5);dteps=0.0001;for i=2:5 %左边界节点t(i,1)=100;endfor j=2:4 %上边界节点t(1,j)=200;endt(1,1)=(t(1,2)+t(2,1))/2;tfor k=1:100for i=2:4 %内部节点for j=2:4t(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;endendt(1,5)=(t(1,4)+t(2,5))/2;%右上角节点for i=2:4;%右边界节点t(i,5)=(2*t(i,4)+t(i-1,5)+t(i+1,5))/4;endfor j=2:4; %下边界节点t(5,j)=(2*t(4,j)+t(5,j-1)+t(5,j+1)+200)/24;endt(5,5)=(t(5,4)+t(4,5)+100)/12;%右下角节点dtmax=0;for i=1:5for j=1:5dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);endendktdtmaxt0=t;contour(t',30);pause;if dtmax<dteps break; endendtplot(t);运行结果：t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3730 100.0000 137.7620 147.6867 148.5797 142.7461 100.0000 103.3613 104.4054 103.8862 102.4519 100.0000 71.2780 62.6875 60.1080 59.2890 100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882等温图：2、Jacobi迭代法t=zeros(5,5);t1=zeros(5,5);dteps=0.0001;for i=2:5%左边界节点t(i,1)=100;endfor j=2:4 %上边界节点t(1,j)=200;endt(1,1)=(t(1,2)+t(2,1))/2;tt1=t;for k=1:100for i=2:4 %内部节点for j=2:4t1(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;endendt1(1,5)=(t(1,4)+t(2,5))/2;%右上角节点for i=2:4;%右边界节点t1(i,5)=(2*t(i,4)+t(i-1,5)+t(i+1,5))/4;endfor j=2:4; %下边界节点t1(5,j)=(2*t(4,j)+t(5,j-1)+t(5,j+1)+200)/24;endt1(5,5)=(t(5,4)+t(4,5)+100)/12;%右下角节点dtmax=0;for i=1:5for j=1:5dtmax=max(abs(t1(i,j)-t(i,j)),dtmax);endendkt1dtmaxt=t1;contour(t',30);pause;if dtmax<dteps break; endendt1plot(t1);运行结果：t1 =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3729100.0000 137.7620 147.6867 148.5796 142.7459100.0000 103.3613 104.4053 103.8861 102.4517100.0000 71.2779 62.6874 60.1079 59.2889100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882等温图：四、不同初值时的收敛快慢以G-S迭代为例：1、令初始值t=100，在程序代码的第四行加入代码：t(1:5,1:5)=10;则可以给出未知节点的初始值为10运行结果为：k =36t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3730 100.0000 137.7620 147.6867 148.5797 142.7460 100.0000 103.3613 104.4054 103.8862 102.4518 100.0000 71.2780 62.6875 60.1080 59.2890 100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882 dtmax = 9.6143e-05表示在当初值为10时其迭代36次得到最终结果2、令初始值t=50，k =37t =125.0000 200.0000 200.0000 200.0000 168.646750.0000 115.7484 137.0412 142.4485 137.293550.0000 75.9524 89.9681 95.4595 95.630450.0000 48.0931 51.4195 53.7911 54.309150.0000 15.0005 13.8257 13.9763 14.0238dtmax =7.0088e-05一共迭代37次得到结果3、令初始值t=200，k =38t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3733100.0000 137.7622 147.6870 148.5801 142.7464100.0000 103.3615 104.4057 103.8866 102.4522100.0000 71.2781 62.6877 60.1082 59.2892100.0000 19.0631 14.9587 14.5693 14.4882dtmax = 8.9881e-05可以看出，当初值较小时，收敛得越快五、上下边界的热流量上边界的热流量：δλi i i U t A ∆∑=Φ=51 ))7461.1423730.171(5.0)5797.148200()6867.147200()100150(5.0(1-⨯+-+-+-⨯⨯= W 144.0471=下边界的热流量i i i U t hA ∆∑=Φ=51 )]104882.14(5.0)105693.14()109586.14()100631.19[(10-⨯+-+-+-⨯=W 208.351=六、计算小结二维稳态导热的数值计算主要采用了热平衡法。
用差分法建立节点的热平衡方程，将节点所在的单元体的四个方向传递的热流密度，内热源在单元体产生的热流密度，根据能量守恒的原则建立方程，可以得到每一个节点的离散化代数方程。
进行数值计算的方法是：先设定初值，在根据初值对每一个节点进行迭代可以求得节点的值。
再将初值与新值进行比较，判断迭代的敛散性。
比较常用的迭代方法有两种：Gauss-Seidel法和Jacobi法。
Gaus-Seidel法每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。
Jacobi 迭代法每次迭代计算均用上一次迭代计算出的值。
对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适有可能导致迭代过程发散，而对于常物性导热问题组成差分方程组，每一个方程都选用导出方程的中心节点温度作为迭代变量则迭代一定收敛。
从计算中可以发现，运用Gauss-Seidel迭代法迭代次数少，收敛性好，因此一般较为常用。