§17.1
薛定谔方程应用举例 (一维问题) 一维问题)
求解问题的思路： 求解问题的思路： 1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
一、一维无限深势阱 模型的建立： 微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立 ：微观粒子被局限于某区域中 ，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型 简化模型。 。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简 相互碰撞 (简化： 简化：交换动量) 交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 可解释金属导热、 可解释金属导热、导电、 导电、顺磁性…...
ik1 x
+ B3e
− ik1 x
d 2 ψ 2m + ( E − U 0 )ψ = 0 d x 2 ℏ2
第一项： 第一项： 向x方向传播的波 第二项： 第二项： 向-x方向传播的波
]
(0 ≤ x ≤ a )
E −i (k1x+ t ) ℏ
]
3
通解： 通解：
ψ 1 = A1eik x + B1e − ik x
(0 < x < a)
x
o
a
2. 求解波函数
①
d2ψ 2m + 2 ( E − ∞ )ψ = 0 d x2 ℏ
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
d2ψ 2m + (E − U )ψ = 0 d x2 ℏ2
该方程只有解Ψ 该方程只有解Ψ＝0 即粒子不能逸出势阱） x ≤ 0, x ≥ a ψ = 0 （即粒子不能逸出势阱）
最小能量 E 1即零点能 ,
粒子不可能静止不动， 粒子不可能静止不动，
x
注意： 注意： 解为驻波 解为驻波形式 驻波形式
由
E=
k 2ℏ 2 n 2π 2 ℏ 2 = = n 2 E1 2m 2ma 2
( n = 1,2,3,...)
2) 粒子在势阱中的概率分布 经典： 粒子匀速直线运动 经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 量子：
由归一化条件
∫ |ψ
−∞
∫ψ ⋅ψ
∞
*
d x = ∫ A sin 2
2 0
A=
2 a
4.讨论解的物理意义 讨论解的物理意义 1) 无限深势阱中粒子的能量量子化 nπ 由 k 2 = 2mE k= 2 a ℏ 2 2 2 2 2 k ℏ nπ ℏ 得 E= = = n 2 E1 ( n = 1,2,3,...) 2m 2ma 2
1 1
U
U
U0 入射波+反射波
U0 透射波
ψ 2 = A2 e
ψ 3 = A3e
ik 2 x
+ B2 e
+ B3e
−k1 x
由 x > a 处无反射波： 处无反射波： B 3 = 0 令 A 1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准）
ψ 1(0) = ψ 2 (0) dψ 1 dψ 2
练习：
解：
解：
|ψ |2 =
a 4
2 2πx sin a a
区间发现粒子的概率。 。 求：0 ~ L 区间发现粒子的概率 3
L L
由归一化条件
2 2 2 2 ∫ |ψ | dx = ∫ c x ( L − x) dx = 0 0
2 πx p = ∫ |ψ |2 d x = ∫ sin 2 dx a a 0 0
1 ψ (x ) = π (1 + ix )
∞
得：
x=0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。 处粒子的概率密度最大。
得：
A =
π
二. 势垒 隧道效应
模型： 模型：金属表面的势能墙不是无限高， 金属表面的势能墙不是无限高，而是有限值 势函数： 势函数：
U ( x) =
令
k12 =
2mE ℏ2
2 k2 =
于是： 于是：
2 nπ x sin ψ ( x) = a a
2 nπ x sin ⋅e a a
i − Et ℏ
(n = 1,2,3,...)
(n = 1,2,3⋯)
E只能取一系列分离值n 2 E1
式中
E n=4 n=3 n=2 n=1
E1 =
π 2ℏ 2
2ma 2
o 满足不确定关系 a
Ψ ( x, t ) =
2 nπx − ℏ Et sin e a a 2 nπx 概率密度 | Ψ ( x , t ) |2 =|ψ ( x ) |2 = sin 2 a a
波函数 Ψ ( x, t ) = x
(n = 1,2,3,...)
波函数为驻波形式， 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等， 势阱中不同位置强度不等，粒 子出现的概率不相同。 。 子出现的概率不相同
4
a
1 2 5 c L =1 30
a
=
∫ a π sin
0
4
2a
2
πx
a
d(
πx
a
)
4
得
L
−2
c=
30 L5
2
ψ=
L
1 πx 1 2 2π x = ( 2 − sin ) π a 4 a
a
30 x( L − x ) L5
= 9.08 × 10
0
p=
∫ |ψ |
0
3
dx =
∫L
0
3
30
5
x 2 ( L − x ) 2 dx =
罗雷尔（ 罗雷尔（瑞士） 瑞士） （Heinich Rohrer,1933-)
(获1986年诺贝尔物理奖 1986年诺贝尔物理奖） 年诺贝尔物理奖）
样品表面 探针表面
由于隧道效应逸出的电子， 由于隧道效应逸出的电子，“电子云” 电子云”
加电压形成隧穿电流——对表面间距异常敏感 通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
U
U
o
U
a
∞
4. 讨论解的物理意义， 讨论解的物理意义， 得出粒子在空间的概率分布。 即求|Ψ |2，得出粒子在空间的概率分布 得出粒子在空间的概率分布。
o
a
求解问题的步骤： 求解问题的步骤： 1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式， 的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式， 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 得本问题中的薛定谔方程。
设粒子在一维无限深势阱运动 势函数 U(x) =
得本问题中的薛定谔方程:
得本问题中的薛定谔方程: 得本问题中的薛定谔方程:
d 2 ψ 2m Eψ = 0 + d x 2 ℏ2
d 2 ψ 2m (E − ∞ )ψ = 0 + d x2 ℏ2
U
∞
0<x<a
x ≤ 0, x ≥ a
x
o
a
U
∞
0
∞
( x ≤ 0, x ≥ a )
17 = 0 .21 81
A 方向运动，其波函数为 ψ (x) = 1 + ix P.247 设粒子沿 x 方向运动， 1.将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 17-6 2.求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 练习： 3.在何处找到粒子的概率最大？ 在何处找到粒子的概率最大？
既透射， 既透射，也反射
( B1 ≠ 0 )
( A3 ≠ 0 )
(a )
E < U0
既透射， 既透射，也反射
U
入射波+反射 波
U0
3. 扫描隧穿显微镜（ 扫描隧穿显微镜（STM)
透射波 ——具有原子级高分辨率， 具有原子级高分辨率，继光学显微镜、 继光学显微镜、 电子显微镜之后的第三代显微镜。 。 电子显微镜之后的第三代显微镜
4
k= nπ a
x
o
a
( n = 1, 2 , 3 ⋯ )
思考： 思考：n为什么不取零和负数？ 为什么不取零和负数？
ψ ( x ) = A sin
nπ x a
( n = 1,2,3,...)
1
ψ ( x ) = A sin
nπ x a
∞ −∞
a
(n = 1,2,3,...)
|2 d x = 1
nπ x d x =1 a
2m ( E −U0 ) ℏ2
( x < 0 , x > a)
0
x < 0,
x>a
U
d2 ψ + k12ψ = 0 d x2
d2 ψ 2 + k2 ψ =0 d x2
1
U0
(0 ≤ x ≤ a )
1
U0
代入 得
0≤ x≤a
d 2 ψ 2m + 2 ( E − U )ψ = 0 d x2 ℏ
d ψ 2mE + 2 ψ =0 d x2 ℏ
2.
概率密度为： 概率密度为：
p 2 = ψ (x ) = dx
3. 令：
1 1 = π (1 + x 2 ) π (1 + ix )
2
解： 1. 由归一化条件
d 2 ψ (x ) = 0 dx
−∞
∫ 1 + ix
∞
A
2
dx =
∞
−∞
∫ 1+ x
1
A2
2
dx = A2arctg x − ∞ = A2π = 1
2
ψ1 = A1eik x + B1e−ik x ( x < 0)