2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．2.（江苏2009年附加10分）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.（江苏2010年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。
设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。
4.（江苏2011年附加10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．5.（2012年江苏省附加10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．6.（2013年江苏省附加10分）已知矩阵1012,0206A B-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵1A B-．7.（2014年江苏省附加10分）已知矩阵121x-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B，向量2y⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y，为实数，若Aα=Bα，求x y，的值．8.（2015年江苏省附加10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。
1.（江苏2008年附加10分）【答案】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=所以，曲线F 的方程是 221x y +=。
【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。
【分析】由题意先设椭圆上任意一点00(,)P x y ，根据矩阵与变换的公式求出对应的点'''00(,)P x y ，得到两点的关系式，再由点P 在椭圆上代入化简。
2.（江苏2009年附加10分）【答案】解：设矩阵A 的逆矩阵为,xy zw ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∴3212032021x z x z y w y w +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩。
解得：1,2,2,3x z y w =-===-。
∴A 的逆矩阵为112A 23--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。
【考点】逆矩阵的求法。
【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。
3.（江苏2010年附加10分） 【答案】解：由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，－2）、C 1（k ，－2）。
计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =⨯=。
所以k 的值为2或－2。
【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。
【分析】由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，根据矩阵的运算法则进行求解。
4.（江苏2011年附加10分）【答案】解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121112112A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423，∴由βα=2A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡213423y x ，∴⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得12x y =-⎧⎨=⎩。
∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21α。
【考点】矩阵的运算法则。
【分析】设向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由2αβ=A ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求得向量α。
5.（2012年江苏省附加10分） 【答案】解：∵1-A A =E ，∴()11--A =A 。
∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。
∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。
令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。
【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。
【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。
7.（2014年江苏省附加10分）【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．2.（江苏2009年附加10分）已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程。
3.（江苏2010年附加10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。
4.（江苏2011年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．5.（2012年江苏省附加10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．6.（2013年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）。
试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
7.（2014年江苏省附加10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为12xy⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t为参数)，直线l与抛物线24y x=交于A B，两点，求线段AB的长．8.（2015年江苏省附加10分）已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.1.（江苏2008年附加10分）【答案】解：∵椭圆2213xy+=的参数方程为 (sinxyφφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）∴可设动点P的坐标为,sinφφ），其中02φπ≤<.∴1sin sin)2sin()23 S x yπφφφφφ=+=+=+=+∴当6πφ=时，S 取最大值2。
【考点】椭圆的参数方程【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求。
2.（江苏2009年附加10分）【答案】解：∵212,x t t =+-∴2123y x t t +=+=。
∴曲线C 的普通方程为：2360x y -+=。
【考点】参数方程和普通方程。
【分析】将x=平方即可得到212x t t +=+，再将13()y t t =+化为13yt t +=，从而消去参数t ，得到曲线C 的普通方程。
3.（江苏2010年附加10分）【答案】解：∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=。
∴圆2cos ρθ=的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=。
直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=的普通方程为：340x y a ++=，1,=解得：2a =，或8a =-。
【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。
【分析】在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出a 值。
4.（江苏2011年附加10分）【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为5=a ，短半轴长3=b ，∴4=c 。
∴右焦点为()0,4。
将已知直线的参数方程化为普通方程得022=+-y x ，∴所求的直线的斜率为21。
∴所求的方程为)4(21-=x y 即042=--y x 。
【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。
5.（2012年江苏省附加10分）【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。
∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。
∵圆C 经过点()24Pπ，，∴圆C 的半径为()2221212cos=14PC π=+-⨯⨯。
∴圆C 经过极点。
∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C 经过点()24Pπ，求出圆C 的半径。
从而得到圆C 的极坐标方程。
7.（2014年江苏省附加10分）【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =。