绵阳南山中学. 南山中学实验学校四川省绵阳市2015届高三“一诊”模拟考试数学理试题本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( ) A.｛-2,1,2｝ B.｛0,2｝ C.｛-2，2｝ D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.63.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ）A.1-或3B.3C.1或27D.27 4.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数(){2014sin ,01log ,1x x x x f x π≤≤>=若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. 3(ln 2)2(ln3)f f >B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．) 11.幂函数2(33)m y m m x =-+过点()2,4，则m = . 12. 计算31log 4233log 6log 243-+-的结果为 .13已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=. 若1AE AF ⋅=，则λ的值为.14.已知22,,12y x y R x +∈+=，则12的最大值为. 15.已知()()()112212,,,A x y B x y x x >是函数()3f x x =-,A B 两点三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分） 16. （本小题满分12分）已知函数()2cos sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期；（Ⅱ）若对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()20m f x ⎡+=⎣恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足12121 (12)n n n b b b a a a +++=-，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T18. （本小题满分12分）已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值；（II ）若()24f α= ,( 263ππα<<)，求3cos()2πα+的值.19. （本小题满分12分）已知二次函数2()(0),(1)3,f x Ax Bx A f =+≠=其图象关于1x =-对称，数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,n n S n N ∈均在()y f x =图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； （Ⅱ）数列{}n b , 1n nb S =, {}n b 的前n 项和为n T ,求证：11313443n T n n -<<-+.20．（本小题满分13分）设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当R a ∈时，讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）若对任意(2,3)a ∈及任意1x ，[]2,12∈x ，恒有12ln 2()()ma f x f x +>-成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分） 已知()ln ()f x x mx m R =-∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =过点P(1,1)-，求曲线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证212x x e >.绵阳南山中学. 南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、CDDBA CADAB 二、填空题11.2 12. -1 13．2 14. 3815.（-1,0）三、解答题16.解： (1)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－23cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴－2－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[3，2].由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－2m ，即3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.17.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d,(d 0≠),则2514,,a a a 构成等比数列，∴22145a a a =，即2(14)(1))113)d d d +=++ 解得d=0（舍去）或d=2, ∴n a =1+2(n-1)=2n-1 ……………….3分 （II ）由已知1212...n nb b b a a a +++112n =-（*n N ∈）当n=1时，11b a =12； 当2n ≥时，n nb a =（112n -）11(1)2n ---=12n ，∴n nb a ==12n ，（*n N ∈） 由（I ），n a =2n-1（*n N ∈），∴212n nn b -=（*n N ∈）…………7分 12313521 (2222)n n n T -=++++ 2341113521 (22222)n n n T +-=++++ 两式相减得234111222221(...)2222222n n n n T +-=+++++-， =113121222n n n -+---， ∴n T =2332n n +- …………….12分 18.解：（I ）6π-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2πφ≤2π-0)12π()4-3π(∴3π2ω⇒|ω|π2∴π=====<======，所以，，且为对称轴由题可知，周期x x f T f x T T ………………………….5分（II ）8153)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.415)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π21)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(41)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(+=++=•+•=+=<<<<•+•=+==+===所以，，即 f……………………12分 19.解：（1）(1)3,12Bf A B A=+=-=-, ∴21,2,,()2A B f x x x ===+ ……………..1分点()()*,n n S n N ∈均在y=f(x)图象上，∴22n S n n =+①………………..2分21(1)2(1)n S n n -=-+-（2n ≥）②①-②得121n n S S n --=+，即n a =2n+1 （2n ≥）……………………….4分， 又113a s == ……………5分∴n a =2n+1（*n N ∈） ………………6分 （2）211111()(2)222n b n n n n n n===-+++ ………………….7分111111[(1)()...()23242n T n n =-+-++-+] =1111[(1)]2212n n +--++=3111()4212n n -+++ ………9分 即证313111()434212n n n ->-++++ 即证211()312n n n <++++， 1111,3132n n n n <<++++，所以右边成立……..10分， 又n T 随n 的增大而增大，1111334n T T n>=>-，左边成立…………..11分 所以，原不等式成立 . ……………………….12分20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-= 令'()0, 1.f x x ==得，当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >，()(0,1)f x ∴在单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)1f x f ∴==极小值，无极大值 ；…… 4分 （Ⅱ）21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x-+--+-=-+-==1(1)()(1)1a x x a x----=………………5分①1a ≤时，(1)10a x -+>,()f x 在(0,1)单减，(1,)+∞单增； ②12a <<时，111a >-，()f x 在(0,1)单增，在1(1,)1a -单减，1(,)1a +∞-单增；③当111a =-即2a =时，2(1)'()0,()(0,)x f x f x x -=-≤+∞在上是减函数；④当111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得1011x x a <<>-或,令'()0f x >，得111x a <<- ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a ∈时，()[1,2]f x 在上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值，123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+，3ln 2ln 222a ma ∴+>-+ ，而0a >经整理得13113230,22422m a a a>-<<-<-<由得 0m ∴≥．……13分21．解：（1）因为点P （1，-1）在曲线上，所以f(1)=-1,得m=1/1()1f x x=-，∴/(1)f =0，故切线方程为y=-1. ……3分 （2） /1()f x m x=-=1mxx-①当m ≤0时，(1,)x e ∈； (1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ； ② 当1e m ≥，即10m e<≤时，(1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ；③ 当11e m<<时，即111em <<时，(1,)x e ∈，()f x 在1(1,)m 单增，在1(,)e m单减，max ()f x =1()f m=ln 1m --④当11m≤即1m ≥时，(1,)x e ∈，/()f x 0<，()f x 单减，max ()f x = f(1)=-m∴()f x 在［1，e ］上的最大值max ()f x=………………………………8分(3)不妨设120x x >>，12()()0f x f x ==，∴11ln 0x mx -=，22ln 0,x mx -=1212ln ln ()x x m x x +=+，1212ln ln ()x x m x x -=-， 要证212x x e >，即证12ln ln x x +2>，即证12()m x x +2>，………10分1212ln ln x x m x x -=-，即证1212ln ln x x x x --122x x >+，即证12ln ln x x -12)122(x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+，……………12分 令12x x =t,则1t >，即证1ln 1t t t ->+，1()ln 1t t t t ϕ-=-+，则/()t ϕ=22214(1)0(1)(1)t t t t t --=>--，函数()t ϕ在(1,)+∞单增，∴()t ϕ(1)ϕ>=0，∴原不等式成立. ……………………14分。