特征根
模态函数
sin l 0
cos l ch l 1 0 cos l ch l -1 0 cos l ch l -1 0 tan l th l 0 tan l th l 0
il i
i l (i 1/ 2)
Fs：剪力 M：弯矩
l ( x) S ( x) 为单位长度质量， EI ( x) 为梁的抗弯刚度。作用在梁上的分布载荷为 f ( x, t ) 。
厚度为 dx 的微元体的受力状况如图所示，则可列出微元体沿
y
方向的动力学方程
1. 动力学方程
FS 2 y l ( x)dx 2 FS (FS dx) f ( x, t )dx t x
• 材料的杨氏模量E=70GPa，密度=2.7103kg/m3。
• 求该弹简支状态下的前三阶固有频率及主振型。
• （保存结果与上机结果比对）
i 2 EI i ( ) l l
l ( x) S ( x)
i i ( x)= sin x l
CAE大作业内容：
1. 确定分析对象
尺寸、材料自拟
C2 sin l C4 sh l 0 C2 sin l C4 sh l 0
因 sh l 0 ，故由以上方程组得 C4 =0 ，且得到频率方程 sin l 0 。
由 sin l 0 ，解得
4 而
il i ， (i 1, 2, )
p/k (1- ）+（2）
2 2 2
sin （t -）
固有频率和振型
• 固有频率：也可称为特征频率、共振频率、主频率。 • 振型：结构在特定频率下的变形称为主振动模态，也可称为振型、 特征型、固有型。 • 每一振型与特定的固有频率有关，这些结果反映结构动力特征，决 定结构怎样对动力载荷做出响应。
M x
（3）
（ 4）
2 x 2
2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) f ( x, t ) EI ( x) x 2 l ( x) 2 t
若梁为等截面，则方程可化为
4 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) EI l f ( x, t ) 4 2 x t
算例：求简支梁的固有频率和模态函数
列出简支端处的边界条件
( x0 ) 0,( x0 ) 0
( xl ) 0, ( xl ) 0
代入
得到
( x) C1 cos x C2 sin x C3ch x C4 sh x
C1 0，C3 =0
一阶主振型
二阶主振型
三阶主振型
梁的弯曲振动
x 轴：未变形时梁的轴线，即各截面形心连成的直线。 y 轴：设梁有对称平面，将对称面内与 x 轴垂直的方
向取作 y 轴，梁在对称平面内作弯曲振动时，梁的 轴线只有横向位移 y ( x, t ) 。 欧拉-伯努利梁：不考虑剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲 振动的影响。 设梁的长度 l ,材料密度 ，弹性模量 E ，截面积和截面惯性矩为 S ( x)和 I( x) ，
自由-自由
固定-固定
i (sin i x shi ) cos i x-chi x i (sin i x-shi )
shi x i sin i x
shi x- i sin i x
简支-自由
固定-简支
il (i +1/ 4)
(i 1)
算例
• 某导弹弹长3m，弹径160mm，弹体壁厚5mm。
积分常数 C j ( j 1, 2,3, 4) 及参数 应满足的频率方程由梁的边界条件确定。 可解出的无穷多个固有频率 i (i 1, 2, 第 i 个主振动，
) 及对应的模态函数 i ( x)(i 1, 2, ) ，构成系统的
y(i ) ( x, t ) aii ( x)sin(it t )
（ 1）
不考虑剪切变形和截面转动的影响时，微元体满足力矩平衡条件， 对右截面上任意点取矩，得
M dx （M + dx) M FS dx f ( x, t )dx 0 x 2
略去高阶小量，得
（ 2）
FS
2 y ( x, t ) M ( x, t ) EI ( x) 由材料力学知，弯矩与挠度的关系为 x 2 将（3）和（4）代入（1），得到两点弯曲振动方程
EI ( x) ( x) 2 l ( x) ( x) 0
对于等截面梁，上式可化为
变系数微分方程，除少数特殊情形 之外得不到解析解。
( x) ( x) 0
4 4
（5）
其中，
4
l
EI
2
方程（5）的解确定梁弯曲振动的模态函数，设其一般形式为
( x) e x
系统的自由振动时无穷多个主振动的叠加
y( x, t ) ( x)q(t )
y( x, t ) aii ( x)sin(it t )
i 1

其中，常数
ai 和 i
由系统的初始条件确定。
常见的约束状况与边界条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有以下几种：
① 固定端
y 固定端处梁的挠度 y 和转角 等于零，即 x ( x0 ) 0, ( xl ) 0 , ( x0 ) 0,( xl ) 0
方程含有对空间变量 x 的四阶偏导数和对时间变量 个边界条件和2个初始条件。
t
的二阶偏导数，求解时必须引入4
2. 固有频率和模态函数
讨论梁的自由振动，因此令 得到运动方程
f ( x, t ) 0
2 x 2
2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) 0 EI ( x) x 2 l ( x) 2 t
作业提交到邮箱： yhcae2018@
2. 静强度分析 对上述对象施加载荷和边界进行静强度分析，载荷大小及作用点自拟。 （ 可能的话与解析解进行比对） 3. 模态分析 计算分析对象的前三阶频率及主振型，边界条件自拟。（可能的话与解析 解进行比对）
大作业考核形式：以小组为单位提交一份上述内容的分析报告。
频率的方式来决定 系统的动力特性
2. 有阻尼自由振动
临界阻尼 欠阻尼
u(t ) ( A Bt )e-nt
u(t ) Aent sin(d t )
u u0 u p Ae
n t
d n 1 2
3. 简谐载荷作用下的强迫振动
sin(d t )
简支端处梁的挠度 y 和弯矩 M 等于零，即
② 简支端
( x0 ) 0, ( xl ) 0
③ 自由端
, ( x0 ) 0, ( xl ) 0
自由端处梁的弯矩 M 和剪力 FS 等于零，即
( x0 ) 0, ( xl ) 0
, ( x0 ) 0, ( xl ) 0
l
EI
2 ，所以解得
i (
i 2 EI ) l l
(i 1, 2, )
代回 ( x) 表达式，得到模态函数
i ( x)=C2 sin
i x l
(i 1, 2, )
归一化
C2 1
i i ( x)= sin x l
(i 1, 2, )
边界条件
简支-简支
频率方程
代入方程（5），导出特征方程
4 - 4 =0
4个特征根为 ， i ，对应4个线性独立的解为
e x 和 e i x 。由于
e x =ch x sh x, ei x =cos x i sin x
因此可将方程（5）的通解写成
( x) C1 cos x C2 sin x C3ch x C4 sh x
第五讲 结构固有特性分析
-------《CAE技术基础》
回顾
mu(t ) cu(t ) ku(t ) P(t )
1. 无阻尼自由振动 u(t ) U sin(nt )
过阻尼
用求解无阻尼固有
u(t ) Ae
( 2 1)nt
Be
( 2 1)nt
(i 3) il (i +1/ 2) (i 2) il (i +1/ 2) (i 2) il (i +1/ 4) (i 1)
sin i x
cos i x chi x
固定-自由
i (sin i x shi )
cos i x+chi x
将方程的解写作
y( x, t ) ( x)q(t ) ，代入上式，得到
EI ( x) ( x) q (t ) q (t ) l ( x) ( x)
=- 2
于是导出方程
q(t ) 2q(t ) 0
通解为
tong q(t ) a sin(t )