有限单元
4
按有限元规则，下面单元编号正确与否?
k
3节点单元 j
i
单元编号那些是正确的？ 1. k, j, i 2. i, j, k 3. i, k, j 4. j, k, i
单元编号那些是正确的？ 1. k, j, i, n, m , l 2. i, j, k, l, m, n 3. i, n, j, m, l, k 4. j, k, l, m, n, i 5. i, k, m, j, l, n
悬臂梁静力分析
P=5N
2.5mm
h 150mm b
5mm
Pl tip 3.09m m 3EI
教材P50： 例题问题描述：一侧固定的方板如图 2.22所示，长宽均为1m，厚度为5cm，方板 的右侧受到均布拉力q=200MPa的作用。材料 的弹性模量为E=2.1×105MPa，泊松比为0.3。 求孔板内的应力分布。
2
一、有限单元法的基本概念
有限元分析（FEA）
利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和 载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用 的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去 逼近无限未知量的真实系统。
3
一、有限单元法的基本概念
节点 Fபைடு நூலகம்网格 边界 单元
节点数是有限的 单元数目也是有限的
轮齿有限元模型
泛函
U W
系统总势能 变形势能 势能降低
函数的函数
用变分法求能量泛函的极值方法就是能量变分原理
U W 0
V

T
dV q f
e
e
虚功原理
23
2）能量变分原理的应用
弯曲产生的应变能 2 l
分布载荷
EI d v 2 U ( ) dx 2 2 0 dx
挠度 外载荷作功
我校购置的正版工程软件
1.ANSYS 2.ADINA 3.MARC 4.ABAQUS 5.ADMAS 6.PRO/E - CAD 7.Phoenics CFD 8. Fluent6.3 CFD
1
第 2讲
第2章 CAE技术基本求解过程
一、有限单元法基本知识 二、线性分析有限元法的基本计算步骤 三、非线性分类及有限元法基本流程
34
有限单元法分析非线性问题 三个基本步骤组 材料非线性问题，使用 材料的非线性本构关系
1．单元分析
几何非线性问题，计算位移 高阶导数的应变－位移矩阵
整体刚度方程写成增量形式 增量法 迭代法 混合法
35
2．整体组集
3．非线性方程组的求解
增量逐步解法的基本思想
假定 t 时刻的解已知，t为选择的时间增量， 在t+t时刻，有：
1) 选择位移模式
2) 分析单元的力学性质 几何方程 物理方程
力和位移的方程式
单元刚度矩阵
13
3) 计算等效节点力
表面力 体积力 集中力
等效地移 到节点上
3．单元组集 结构力的平衡条件 边界条件 各个单元按原来的 结构重新联接起来 整体的有 限元方程
Kq=f
整体结构的刚度矩阵 4 求解未知节点位移 节点位移列阵
100N/cm
6cm
12cm
厚度t=0.1cm, u=0, E=2.1e7 N/cm2
27
1 单元划分
300N 对称性 取一半 1 1 2 300N
4 2
3
y y
k
1 i
j 2 x i j
k x
28
2 计算单元刚度矩阵 3 组成整体刚度矩阵
K
K
1
K
2
4 边界条件处理
5 线性方程组的建立与求解 6 单元应力分量的计算
• 假设节点位移无限小； 否则 •材料的应力与应变关系满足虎克定律： •加载时边界条件的性质保持不变。
非线性问题
33
材料非线性 非线性问题 几何非线性
由于材料的应力与应变 关系的非线性引起的
结构的位移使体系的受力状态 发生了显著变化，以至不能采 用线性体系的分析方法
①大位移小应变问题; ②大位移大应变问题; ③结构的变位引起外载 荷大小、方向或边界支 承条件的变化等问题。
3
Area=b*h=12.5mm2 Izz=b*h3 /12=26.0417 E=70GPa, u=0.0
0 .
1m
2m
200MPa
1m
39
W p( x)v( x)dx
0
l
d v EI 4 p 0 dx
直梁的基本微分方程
24
4
U W 0
2 有限单元法的解题步骤
1) 单元剖分和插值函数的确定
2) 单元特性分析 应变：=Bqe
节点位移：d=Nqe
应力： =D =DBqe
节点力与位移的关系 f e=Ke qe
29
ANSYS软件验证：
300N 4 单元 1 300N 3 单元 1 PLANE2 SX SY SXY -285.71 -1285.7 -285.71
单元 2 1 平面应力问题 2 单元 2 SX SY SXY .00000 -714.29 -714.29
30
三、非线性分类及有限元法基本流程
非线性结构
6
8节点单元 4
1
7
6
5
8
注意：单元编号逆时针方向!! k 5 j 3 3 4 1 7 8 5
7
10
i
12
2
6
网格划分
六面体8节 点单元
8
1．物体离散化
10 9
关键点
8 7
6 5 4 3
1
2
!* K,1,,,, K,2,25,,, K,3,25,20,, K,4,14,22.5,, K,5,11,25,, K,6,9,30,, K,7,8,39,, K,8,6,43,, K,9,3.5,47,, K,10,0,47,, !
5
6节点单元 n i
m l j k
下面单元编号正确与否? 5 10
4节点单元
3
12 3
2
单元编号那些是正确的？ 1. 5, 3, 12, 10 2. 3, 12, 10, 5 3. 10, 12, 3, 5 4. 10, 5, 3, 12
单元编号那些是正确的？ 1. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 5 2. 1, 2, 3, 4, 8, 5, 6, 7 3. 3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6 4. 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, 5
18
(2)虚功原理法 1）设定位移函数
平面问题
u(x, y) =a1+ a2x+ a3y v(x, y) =a4+ a5x+ a5y
d=Nqe
单元内位移
位移分量
u d v
形状函数
19
2) 由位移函数求应变 弹性力学理论
u x x u e y Bq y xy u u x y
9
位移等值线图
10
剪应力等值线图
11
等效应力图
12
2．单元特性分析
位移法 力法 混合法
选择节点位移作为基本未知量时称为位移法； 选择节点力作为基本未知量时称为力法；取 一部分节点力和一部分节点位移作为基本未 知量时称为混合法，
易于实现计算自动化 结构物离散化后 位移、应变和应力等 由节点位移来表示
u u
t
37
修正Newton法的迭代公式
K ui q
t
t t
f
t t i 1
u
迭代步数
t t i
u
u f
t t i 1
ui
u
t t
t t 0 t t 0
满足精度 指标时
f
迭代终止
迭代所用的初始 值正是t时刻的解
初始值
t时刻的解
38
(a). 订书机
受力
受力
变形
状态变化； 几何非线性； 材料非线性。
(b). 木架
变形
受力
变形
(c). 轮胎
非线性结构行为的普通例子
31
三、非线性分类及有限元法基本流程
非线性结构 状态变化； 几何非线性； 材料非线性。
几何非线性
32
三、非线性分类及有限元法基本流程
固体力学问题，从本质上讲是非线性的，线性 假设仅是实际问题中的一种简化 线性弹性体系
e
V
dV q 虚功原理
T
e
f
K B DBdV
e T V
25
3) 单元组集
整体结构平衡方程组
整体结构所有节点 的位移列阵
F=K q
总的载荷列阵 整体结构的刚度矩阵
4) 解有限元方程
结构平衡方程组进 行边界条件处理 解出节点位移
5) 计算应力
26
3. 用三角形单元进行静力分析的实例
k12 k13 k14 vi k 22 k 23 k 24 zi k32 k33 k34 v j k 42 k 43 k 44 j
17
Fe=Ke qe
EA l 0 0 Ke EA l 0 0
p
f
t t
f
t
t t
0
外载荷节点力向量
单元应力引起 的节点力向量
t t
f f
t时刻的解为已知
36
节点力增量向量
材料和几何条件 的切向刚度矩阵
f K u
t
节点位移增量向量