分离变量：

0
d


E

dt
（t）
当t=0 ，σ=σ0 时积分：

(t )
0
d


E

0

dt
0
t
t
(t ) E ln t 0
E
t (t ) e 0
E
(t ) 0e

t
令τ=η/E 应力松弛方程
(t ) 0et /


d dt

d dt
粘度 应变速率
聚合物线性粘弹性 行为描述 性能差异 元 件
两种基本元件
应力与 回 复 性 应变速率 可 以 无 关
弹 性 元 件 粘 性 元 件
不
可
有
关
8.2.3 串联模型
Maxwell模型
（t）
线性高聚物的应力松弛

0
虎克弹簧
σ 1 = Eε
弹性固体与粘性流体代表着粘弹性材料的两个极端。弹 性固体在载荷除去后其变形能恢复到其初始状态；而粘性流 体则不具有变形恢复的可能性。弹性固体的应力直接与应变 有关；而粘性流体中的应力，除静水压力分量外，则与应变 速率有关。通过分别对弹性固体与粘性流体建立出的弹性元 件与粘性元件两个基本模型，可将粘弹性聚合物应用麦克斯 韦模型（串联模型）或开尔文模型（并联模型）表示，可得 到两种模型的本构方程，以描述粘弹性材料的应力-应变-时 间的关系。为了避免对应力-应变本构方程的积分运算，可 采用拉普拉斯变换求解。
8.2.2 两种基本元件
图8-3 弹性元件的线性弹簧和粘性元件的 阻尼器 a)弹性元件 b)粘性元件
聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件

k
弹性元件（胡克元件）
(Elastic Element)
k
k
弹簧刚度系数

聚合物线性粘弹性 行为描述
两种基本元件
粘性元件（牛顿元件） (Viscous Element)
对于不同的聚合物，需建立与之相对应的粘弹性模型，这往外需要经过“实验-理论 分析-实验”这样的多次反复过程，才能逐步完善。
图8-1 非晶态聚合物的模量E随温度T 变化的典型曲线
8.2 聚合物的粘弹性行为 8.2.1 基本概念
普通粘、弹概念
弹
– 由于物体的弹性作用使之射出去。 弹簧 – 利用材料的弹性作用制得的零件，在外力 作用下能发生形变（伸长、缩短、弯曲、扭转 等），除去外力后又恢复原状。
粘弹性应力是应变的函数，也是时间的 函数,描述粘弹性行为的一般方程为：
f ( t )
称为本构方程(Constitutive Equation)。
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
对于线性粘弹性，本构方程
f ( , t )
这表明
f (t )
呈线性关系 和 均与、能使 一个物质附着在另一个物体上的性质。
材料的粘、弹基本概念
材料对外界作用力 的不同响应情况 恒定力或形变-静态 变化力或形变-动态
典 型
小分子固体 – 弹性 小分子液体 – 粘性
理想弹性体、理想粘性液体 和粘弹性
理想弹性体（如弹簧）在外力作用下平衡形变瞬 间达到，与时间无关；理想粘性流体（如水）在 外力作用下形变随时间线性发展。 聚合物的形变与时间有关，但不成线性关系，两 者的关系介乎理想弹性体和理想粘性体之间，聚 合物的这种性能称为粘弹性。
1
牛顿粘壶
2
d 2 dt
t
Maxwell模型的应力松弛曲线
σ
聚合物线性粘弹性 行为描述
串联模型—Maxwell模型




k

t 1 2
k
d t d 1 d 2 dt dt dt
d t 1 d dt k dt
t=η 时， ζ (t) = σ0 /e
τ的物理意义为应力松弛到σ0 的
1/e的时间--松弛时间
t ∞ ，ζ (t)
0
应力完全松弛
可模拟线性高聚物应力松弛
高聚物动态力学行为
不可模拟蠕变（相当于牛顿流体的粘性流动） 交联高聚物应力松弛
高聚物粘弹性 The viscoelasticity of polymers
•高聚物材料表现出弹性和粘性的结合
•在实际形变过程中，粘性与弹性总是共存的
•聚合物受力时，应力同时依赖于应变和应变速 率，即具备固、液二性，其力学行为介于理想 弹性体和理想粘性体之间。
聚合物线性粘弹性 行为描述
本构方程
d dt

Maxwell 模型本构方程
图8-4 麦克斯韦模型和开尔文模型
如果以恒定的σ作用于模型，
弹簧与粘壶受力相同： σ= σ1= σ2 形变应为两者之和： ε =ε1 + ε2
其应变速率：
d d 1 d 2 dt dt dt
d 1 1 d 1 弹簧： dt E dt
8.1 引言
高分子材料，又称聚合物，是由各类单体分子通过聚合反 应而形成的。聚合物具有轻巧、廉价和便于加工成型等特点， 这类材料在用途上和用量上都在迅速增长。目前全世界聚合物 的产量，在体积上已相近钢产量。
聚合物性态与温度和时间或应变速率关系很大。由于温度和时间或应变速率存在着广 泛的等效关系，经常将温度T作为主要的特征参数。对于非晶态聚合物，以玻璃化的转变 温度为分界线，将聚合物分成玻璃态和橡胶态。前者的性态接近于脆性玻璃；后者具有很 高的非线性弹性变形能力。在不同的条件下，聚合物表现出多种类型的变形，如弹性变形、 粘性变形、塑性变形。 与一般工程材料不同，聚合物表现出明显的粘弹性行为，即它们的应力-应变关系都与 时间有关，介于弹性与粘性之间的变形行为。之外，粘弹性材料的应力-应变-时间关系还 具有温度敏感性，即与温度有关。一般的弹性材料在温度较高的情况下可能会出现蠕变和 松弛的现象，但是粘弹性材料在一般环境温度，就可以产生这两种现象。
d 2 2 粘壶： dt
d 1 d 1 2 dt E dt
Maxwell 运动方程
模拟应力松弛：描述应力松弛
d / dt 根据定义：ε=常数（恒应变下）， 1 d 1 2 0 E dt 根据模型： 1 d 0 1 2 E dt