ni
(9· 50)

其相应自由度为 ni 1 、k 1 、 ni k 。

(三) 回归关系的协方差分析
协方差分析解决问题的步骤如下：

(1)列出处理间、处理内和总变异的DF、SSx、SSy和
SP。


(2)测验x 和y 是否存在直线回归关系。
(3)测验矫正平均数间的差异显著性。
Tx1 T y1 Tx2
x1 y1
x2 y2
2

k

xk1
y k1

xk 2
yk 2

xk 3
yk 3
… …

xk n yk n
Ty2

Txk T yk

xk
yk
Tx
Ty
x
y

单向分组资料协方差分析的样本线性组成为：
y ij y t i be( xij x ) eij

(9· 47A)
re cove ˆ
2 e( x )
ˆ
2 e( y )

0.0369 0.3312 0.4030 0.0308
品种(基因型)相关系数rg为：
rg cov ˆ2( x ) ˆ2( y )
︿
0.3673 -0.5979 1.5790 0.2390
归模型作协方差分析。
表9.15 南优3号的颖花数（x）和结实率（y）资料
区 组
处理
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tr 4.59 4.09 3.94 3.90 3.45 3.48 3.39 3.14 3.34 4.12 4.12 3.84 3.96 3.03 52.39
mk km
Tx T y
（9· 55）

（三）协方差分析
两向分组资料的协方差分析和单向分组资料并无原
则上的不同，只是多了一个方向的变异来源。

[例9.17] 表9.15是研究施肥期和施肥量对杂交水
稻南优3号结实率影响的部分结果，共14个处理，2
个区组，随机区组设计。由于在试验过程中发现单 位面积上的颖花数对结实率似有明显的回归关系， 因此将颖花数(x，万/m2)和结实率(y，%)一起测定。 该试验的处理效应为固定型，故按因果关系资料回
87 0.9 2 2 .8 4 ( y) 86 e( y ) 25 8 1 0.0 8. 30 31 8 61
2 e ( y)
cove 127. 1.432 +4 cov 426 2
0. 品种 27 108. 40 0 81 内 30 总变 35 706. 9 80 异

2 e( x)
结果于表9.13。
表9.13 90个小麦品种的小穗数(x)和百粒重(y)的方差分析与协方差分析 变异 D 来源 F x的方差分析 SS M S EMS y的方差分析 SS MS EMS (x，y)的协方差分析 SP MP EMP
2 2 6. e ( x ) 4 ( x ) 597. 品种 71 间 89 99 90
Ti y 119 127 128 135 138 143 145 141 138 115 119 129 124 146 1847
xi
4.455 4.100 4.025 3.735 3.620 3.430 3.210 3.190 3.190 4.440 4.435 3.720 4.230 3.020
cov代替 2 。这是处理(品种)效应 i 为随机型的资
料，目的不是研究特定的品种，而是研究抽出这些品 种的小麦总体，因而需估计有关总体参数。

由表9.13中的MS 和EMS 的关系可得：
ˆ e2( x ) 0.4030
ˆ2( x ) (6.7190 - 0.4030)/4 1.5790
样本线性组成为：
y ij y t i r j be( xij x ) eij

(9· 54A)
移项后可得：
yij ti rj y be( xij x ) eij
a be xij eij

(9· 54B)
和
yij be( xij x ) y ti rj eij
(9· 54C)


(二) 乘积和和自由度的分解
表9.14的总SP 可分解为类间、组间和误差三部分，
其值为：
SPT ( x x )( y y ) xy 1 1 mk m Tx T y 1 m SPR k ( x · (T xi·T yi· ) i x )( y · i y) 1 k 1 mk k Tx T y 1 k SPt m ( x·j x )( y·j y ) (T x·j T y·j ) 1 m 1 mk SPe SPT SPR SPt
ˆ e2( y ) 0.0308
ˆ2( y ) (0.9868 - 0.0308)/4 0.2390
由表9.13中MP 和EMP 的关系得：
cove 0.0369
cov (-1.4322 - 0.0369)/4 -0.3673
︿
︿
因此，小穗数和百粒重的环境相关系数 r 为： e ︿

首先用两向分组资料的通常方法算得表9.15资料的
各项平方和于表9.16，乘积和则由以下各式算出： SPT=(4.59×58)+(4.09×65)+…+(3.01×71)
= - 73.60 1 (105.6 1847) 28
(52.39 937) (53.21 910) 1 (105.6 1847) -0.79 SPR= 14 28

协方差分析(analysis of covariance)是将回归分 析和方差分析综合起来的一种统计方法。

(二) 协方差分析的功用
1. 当（x，y）为因果关系时，可利用 y 依 x 的 回归系数矫正y变数的处理平均数，提高精确度。


2. 当（x，y）为相关关系时，可通过估计不同变 异来源的总体方差和协方差，作出相应的相关分析。
9.96 0.036 1 9 117. 501
cove
96 .1 41 2

表9.13中，x和y两者的方差分析按第六章第三节的方 法作出；(x，y )的SP 则由(9· 49)求出。将各SP除以 相应的DF，即得平均的乘积和，即MP。期望协方 EMP 的分量和随机模型的 EMS 相同，仅是以协方差符号
I
y 58 65 64 66 71 71 71 72 69 61 63 67 64 75 937 x 4.32 4.11 4.11 3.57 3.79 3.38 3.03 3.24 3.04 4.76 4.75 3.60 4.50 3.01 53.21
II
y 61 62 64 69 67 72 74 69 69 54 56 62 60 71 910 x 8.91 8.20 8.05 7.47 7.24 6.86 6.42 6.38 6.38 8.88 8.87 7.44 8.46 6.04 105.60
（9· 49）

如果各组的n不等，分别为n1、n2、…、nk，其和为，
则
T xk T y k T x1 T y1 T x2 T y2 1 SPt ( ) (T x T y ) n1 n2 nk ni ni T xk T y k T x1 T y1 T x2 T y2 SPe xy ( ) 1 n1 n2 nk 1 SPT xy (T x T y ) 1 ni

二、单向分组资料的协方差分析
(一) 资料模式与线性组成

设有k 组回归样本，每组各有n 对观察值，则该资料共有kn 对
数据，其模式如表9.8。
组别 观 察 值 总和 平均
1
x11 y11 x21
y21
x12 y12 x22
y22
x13 y13 x23
y23
… … …
…
x1n y1n x2n
y2n
将(9· 47A)移项得：
yij ti y be( xij ห้องสมุดไป่ตู้ ) eij
a be xij eij

(9· 47B)
和
yij be( xij x ) y ti eij
(9· 47C)

(二) 乘积和和自由度的分解
kn k k n
( x x )( y y ) n ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) i i i i 1 1 1 1 48） SPT SPt SPe （9· 相应自由度为： ( nk - 1)(k - 1) k(n - 1)
以上re所对应的自由度是k(n-1)-1=269，为极显 著；rg的假设测验比较复杂，其简单近似是具自由 度k-2=88，亦为极显著。 根据以上方差和协方差分量，还能估计出小穗数和
百粒重的表型相关rp可估计为：
rp
cov e cov
2 2 2 2 ˆe ˆ ˆ ˆ [ ][ ( x) ( x ) e( y ) ( y )]
区 组 间
处 理 间 误 差
0.0240
6.8732 0.8372
26.03
694.46 82.47
-0.79
-66.37 -6.44
有了上述结果，就可先对x 和y 变数各作一方差分 析，见表9.17。
yi
59.5 63.5 64.0 67.5 69.0 71.5 72.5 70.5 69.0 57.5 59.5 64.5 62.0 73.0