三者之间的关系 • SS总= SS组内+ SS组间 • 总= 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
H 0：1 2 3 4
，即4个试验组的整体均数相等
H1： 4个试验组的整体均数不全相等
按表4-4中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 、均方MS和F值。 X ij =102.91+81.46+80.94+58.99=324.30 2 X ij =367.85+233.00+225.54+132.13=958.52
表4-3 4个处理组低密度脂蛋白测量值（mmol/L）
分组 测
3.53 3.30 1.37 4.59 4.04 3.93 4.34 3.53 2.33 2.66 3.56 2.98
量
3.59 3.85 4.00 3.13 4.07 3.55 2.64 3.52 2.96 2.56 3.93 4.3 3.50 4.19 4.16
组间 组内
自由度 119
3 116
SS 82.10
32.16 49.94
MS
F
P
10.72 0.43
24.93
<0.01
表4-4 完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 自由度 总变异 N-1
g ni
SS
2 X ij C i 1 j 1
ni g
MS
F
P
组间
g-1

i 1
( X ij ) 2
处理 3 1 2
1 SS区组 (1.98 2 1.50 2 1.05 2 0.93 2 1.35 2 ) 3.0917 0.2284 3
区组 5 1 4
SS误差 0.5328 0.2280 0.2284 0.0764 误差 (5 1)(3 1) 8
三、统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出 对应的P值，与进行比较，以确定是否为小 概率事件。
第二节 完全随机设计的方差分析
(单因素方差分析)
何谓完全随机设计
是一种将研究对象随机地分配到处理因 素各水平组的单因素设计方法,其研究目的是 推断处理因素不同水平下的试验结果的差异 是否有统计学意义,即该处理因素是否对试验 结果有本质影响.
方差分析表见表4 10。
表4-8 随机区组设计资料的方差分析表
变异来 源
总变异
自由度
N-1
g n
SS
2 X ij C i 1 j 1
g
MS
F
P
处理间
g-1
1 2 ( X ) C ij n i 1 j 1 1 ( X ij ) 2 C g j 1 i 1
k
合计
n ni
i 1
Xi
X1
X2
…
Xk
1 k ni X X ij n i 1 j1
1 k ni 2 S X X ij n 1 i 1 j1
2
S i2
2 S1
S2 2
…
S2 k
各种变异（SS）的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
表4-9 三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g)
区组 1 2 3 4 A药 0.82 0.73 0.43 0.41 B药 0.65 0.54 0.34 0.21 C药 0.51 0.23 0.28 0.31
X
i 1
g
ij
1.98 1.50 1.05 0.93
5
0.68
n
0.43
2.17 0.434
SS总-SS处理-SS区组
n g
n
SS处理
处理
MS处理 MS误差 MS区组 MS误差
第一节
方差分析的基本概念
一、方差分析的几个名词

什么是方差？ 离均差 离均差平方和SS 方差（2 S2 ）均方（MS） 标准差：S 自由度： 关系： MS= SS/
二、方差分析的基本思想
原始数据对于总均数的离差平方和可分解 成几个部分，每一部分代表一种变异的来源， 自由度也可得到相应的分解。通过对不同来 源变差的均方的比较，以判断某种变异原因 的存在与否。
第四章 多个样本均数比较的方差分析
主要内容


第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
方差分析的基本概念 完全随机设计的方差分析 随机区组设计的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 两阶段交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 多样本方差齐性检验
3
2015/9/26
、均方MS和F值。 按表4-8中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 C=6.812/15=3.0917 SS总=3.6245-3.0917=0.5328, 总 =15-1=14 1 SS 处理 (3.07 2 2.17 2 1.57 2 ) 3.0917 0.2280 5
值
3.25 2.96 2.59
统
n
计
量
安 慰剂 组
Xi
3.43
X
102.91
X
2
30
367.85
降
2.4 g 组 4.8 g 组 7.2 g 组
血
2.42 1.98 2.36 2.86 2.66 3.48 0.89 1.98 1.31
脂
3.36 2.63 2.56 2.28 2.32 2.42 1.06 1.74 2.51
各种符号的意义
Xij第i 个组的第j 个观察值 I=1,2,…g J=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N
数据结构
处理因素的分组水平 水平 1 X11 X12 … X1n1 ni n1 水平 1 X21 X22 … X2n2 n2 … … … … … … 水平 k Xk1 Xk2 … Xknk nk
F0.01,(3,116) 3.98 ， 24.93 F0.01,(3,116) , P 0.01
结论:按 0.05水准,拒绝H0,接受H1,认为4个处理组患者的低密度脂 蛋白总体均数不全相等,即不同剂量药物对血脂中低密度脂蛋白降低有 影响.
表4-5 例4-2的方差分析表
变异来源 总变异
f(F)
v1=vA，v2=ve

F(v1,v2)
第三节 随机区组设计资料的方差分析
也叫 配伍组设计的多个样本均数的比较 （双因素方差分析）
应用分层的思想，事先将全部受试对象按某种或
某些特性分为若干个区组，区组内的试验对象均衡，
区组之间试验对象具有较大的差异，这样利用区组控制
非处理因素的影响，并在方差分析时将区组间的变异从 组内变异中分解出来。当区组间差别有统计学意义时， 这种设计的误差比完全随机设计小，试验效率得以提高。 是配对（两个组）资料的扩充（两个以上组）。
C=(324.30)2/120=876.42 SS总=958.52-876.42=82.10, 总 =120-1=119
(102.91) 2 (81.46) 2 (80.94) 2 (58.99) 2 SS组间 876.42 32.16 30 30 30 30
0.05
乙 丙 甲
乙 甲 丙
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个 区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗 癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重 量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同药物 的抑瘤效果有无差别？
0.24
1.57 0.314
1.35
6.81 0.454
X
j 1
3.07
ij
( X ij )
Xi
0.614
(X )
2 ( X ij )
X
j 1
n
2 ij
2.0207 1.0587 0.5451 3.6245
分析变异
总变异: 组间变异（因素一的变异）: 误差（组内）变异（随机误差）: 配伍间变异（因素二的变异）:
新
4.32 2.86 2.52 2.39 2.61 2.41 1.08 2.16 1.88
药
2.34 2.93 2.27 2.28 3.64 2.66 1.27 3.37 1.41 2.68 2.17 2.98 2.48 2.58 3.29 1.63 2.97 3.19 2.95 2.72 3.72 2.28 3.65 2.70 1.89 1.69 1.92 1.56 2.65 2.80 3.21 2.66 3.04 1.19 0.94 2.47 3.11 2.22 3.57 2.23 3.68 2.81 2.17 2.11 1.02 1.81 2.90 4.02 2.32 2.65 1.97 2.28 2.81 2.10 1.77 2.97 2.31 2.68 3.02 1.68 1.72 2.52 3.71 30 1.97 58.99 132.13 30 2.70 80.94 225.54 30 2.72 81.46 233.00
表4-6 15只小白鼠分5个区组的随机区组设计分配结果
区组号
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3 1
4 2 3 1
5 2 3
小白鼠
随机数
68 35 26 3 2 1
00 99 53 1 3 2
93 61 28 3 2 1
52 70 05 2 3 1
48 34 56 2 1 3