要求：
前六个题每人选3个，第7题到第14题每人任选1个。
第三章Poisson 过程
1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，
(()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t
-===-= 3、设有两个相互独立，强度分别为12,λλ的Poisson 过程12{(),0},{(),0}N t t N t t ≥≥，证明在过程1{(),0}N t t ≥中两个相邻事件间，过程2{(),0}N t t ≥出现k 个事件的概率为
1
21212(),0,1,2,k p k λλλλλλ==++
4、设{(),0}X t t ≥复合Poisson 过程，证明{(),0}X t t ≥也是平稳独立增量过程。
5、对于齐次泊松过程，计算123,t t t ，的联合分布。
6、产生一个泊松随机变量。
设随机变量列12,,U U L 服从（0，1）上的的均匀分 布，且相互独立：
()a 若ln i i U X l
-=,证明i X 服从参数为l 的指数分布； ()b 若N 定义为满足下式之n 值：
111n n i i i i U e U l +-==吵照
，其中0
11i i U =ºÕ 利用()a 证明N 服从均值为λ的泊松分布。
7、考虑一个从底层起动上升的电梯。
以i N 记在第i 层进入电梯的人数。
设i N 相互独立，且i N 是均值为i l 的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯。
ij j i
p >å=1，令j O 为第j 层离开电梯的人数。
()a 求()j E O ；()b j O 的分布是什么？()c ,j k O O 的联合分布是什么？
8、考虑一个具有r 个面的骰子，且假定每掷一次只呈现其一面，第i 面以概率i p 出现，11r
i i p ==å。
给定数1,,r n n L ，以i N 记直到第i 面出现i n 次时所需掷次
数，1,2,,i r =L 。
令1,..,m i n i i r
N N ==,于是N 是对某个1,2,,i r =L ,第i 面出现i n 次时所需掷次数.
()a i N 的分布是什么?
()b 诸i N 独立吗?
设抛掷是在参数为λ=1的泊松过程所产生的随机来到时刻进行的。
以i T 记直到第i 面出现i n 次所需要时间，1,2,,i r =L ，令1,,min i i r
T T ==L ， ()c i T 的分布是什么?
()d 诸i T 独立吗?
()e 导出][T E 的表达式。
()f 用()e 导出][N E 的表达式。
9、个体按照参数为λ的泊松过程进入系统。
每个来到的个体相互独立地经历系统的状态。
以()i s a 记一个体来到后经过时间s 处于状态i 的概率。
以()i N t 记在时刻t 处于状态i 的个体数。
证明(),1,2,i N t i =L 相互独立且()i N t 服从均值为λE [一个体从进入系统到t 时止处于状态i 的时间]。
10、证明非齐次泊松过程的增量)()(t N s t N -+服从均值为)()(s m s t m -+的泊松分布。
11、一个二维泊松过程是在平面上随机发生的事件构成的过程，使得
（i ）对于任一面积为A 的区域，其中的事件数服从均值为A λ的泊松分布； （ii ）不相交的区域中的事件数是相互独立的。
对此过程，考虑平面上任意一点，以X 记它与最近的事件间的距离，此处的距离是指通常的欧氏距离。
证明 ()a 2()t P X t e l p ->=；()b ()
E X =。
12、设{(),0}X t t ≥是复合泊松过程，计算))(),(cov(t X s X 。
13、对一个条件泊松过程：
（a ） 解释为什么条件泊松过程有平稳增量但无独立增量。
（b ） 在已知}0),({t s s N ≤≤,即过程直到t 时的历史资料条件下，计算Λ的
条件分布，并且证明它只依赖于)(t N 。
解释为什么会是这样的。
（c ） 在已知)(t N =n 的条件下，计算t 之后第一个事件发生的时刻的条件
分布。
（d ） 计算h
h N P h }1)({lim 0≥→ （e ） 以12,,X X L 表示来到间隔，它们独立吗？它们同分布吗？
14、考虑一个条件泊松过程，其中Λ服从参数为m 与α的τ分布，即密度为
1()(),0(1)!
m e g m l a
a l a l l --=<< - (a)证明1(())()(),0n m n m n t P N t n C n t t a a a +-==壮++；
(b)证明在已知()N t n =的条件下，Λ的条件分布仍是τ分布，参数为n m +,α+t . (c)0(()()1())lim h P N t h N t N t n h ®+-==是什么？。