固体物理补充习题晶体的结构1. 写出NaCl 和CsCl 的结构类型。

2.分别指出简单立方、体心立方和面心立方晶体的倒格子点阵的结构类型。

3 .画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数。

(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）钽酸锂（6）铍 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。

4.对于六角密积结构，初基元胞基矢为.求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。

倒空间 ↑→ji i (B)晶胞体积为其倒格矢为晶体的结合1. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.2.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”. 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”. 3．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 nmrb ra r U +-=)((1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的结合能；(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。

解：(1)平衡时 011=-=∂∂----n m r b n r a m r r u得 am bn r mn =-0m n ambn r -=1)(0 (2)平衡时 把r 0表示式代入u(r)u(r 0)=－mn n mn m ambn b ambn a --+)()(=－mn m nm n mn n mm n bamn abnm -----+)()(（3）由r 0表示式得： 81)5(10310ab =⨯-若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得101021019)103()103(106.14---⨯-⨯+=⨯⨯b a化简为 80101039104.6-⨯-+=⨯b a 略去第二项a=5.76⨯102 上式代入a 值得 b=7.55⨯10-75(4)由题意得 λex ρ(-r 0/ρ)＝br -n*ln λ－r 0/ρ=lnb －nlnr 0 nlnr o ＝r 0/ρ＋lnb/λln ln 0r n br λρ+=又解：*式两边对r 0求导，得：λ/ρ×ex ρ(-r 0/ρ)＝bnr -n+1, 与*式比较得： n/r 0 =1/ρ 得：r 0 = n ρ4.N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R e RB N R U n 024)(πεα(1) 证明平衡原子间距为n eBR n 2014απε=-(2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0020nR NeR U --=πεα(3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75证： （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---2021)1(4)(R e e n B N dr dun πεα )4(122+--=n RBn ReN πεα令00==R R dRdu 得2014eBnR n απε=- 证毕（2）把以上结果代入U(R)式，并把R 取为R 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=--1120112020)(4)()(402440n n eBn eBn eBn eBN R U απεαπεαπεπεα =－N)11(4002nR e-πεα若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－” 证毕 （3）由（2）之结论 整理可得)(400022R U R e N eN n πεαα+=式中 阿氏常数N ＝6.0⨯1023 电子电量 e=1.6⨯10-19库仑真空介电常数 ε0=8.85⨯10-12法/米若题中R 0为异种原子的间矩，R 0＝0.5×5.63⨯10－10m U(R 0)=-765000j/mol （平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值） 马德隆常数α=1.75200)(411eN R UR n απε－=8.8113823510121056.275.1100.61065,71082.21085.814.34≈-=---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯晶格振动1. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?[解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做近相向振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子近同向振动, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3对于初基晶胞为N 的二维晶体，基元含有两个原子，声学支振动模式和光学支振动模式的数目各有多少？4. 阐述晶格比热的爱因斯坦模型和德拜模型的物理意义，为什么用德拜模型计算的比热在低温时能给出很好的结果，而用爱因斯坦模型计算的结果比较差？5.简述布洛赫定理，该定理必须采用什么边界条件？6由N 个原胞组成的晶体，每个原胞中有n 个原子，问：晶格振动中有几支声学波，几支光学波？7.设有一双子链最近邻原子间的力常数为β和9β，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=aπ处的ω(q).并定性画出色散曲线。

固体能带习题1. 电子的有效质量变为的物理意义是什么?[解答]从能量的角度讨论. 电子能量的变化.从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量变为. 此时电子的加速度,即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 2紧束缚模型电子的能量是正值还是负值?[解答]紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式即是例证. 其中孤立原子中电子的能量是主项, 是一负值,是小量, 也是3.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?[解答] 在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构基本相同. 但本征半导体的价带进满带，其禁带带隙（导带与价带）较窄, 其宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.4. 已知一维晶体的电子能带可写成 E(k)=22ma(78－coska+18cos2ka)其中a 为晶格常数，求（1）能带宽度；（2）电子在波矢K 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

5.近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S 能带（1） . 计算E s ～k →关系； （2） . 求能带宽度；（3） . 讨论在第一B ·Z 中心附近等能面的形状。

注：CosX=1－X 2/(2！) + X 4/(4！) －……解：（1）.对简立方，最近邻原子处于 R n →=±a i →, ±a j →,±a k →）（六种） E s =E sat －A －B []e eeeeeik aik aik aik aik aik ax x y y z z +++++---=E sat －A －2B （Cosk x a+Cosk y a+Cosk z a ） （2）. 当K x = K y =K z =0时 E smin =E sat －A －6B 当K x =K y =K z =π／a 时 E smax =E sat －A+6B能带宽度＝E max －E min ＝12B（3）当K x , K y , K z 均趋于零时 E s （k →）≈E s at—A —2B （1—K a K a K a x y z 2222221212+-+-）= E sat—A —2B ()322222-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥a K K K x y z ─── 球形晶体的缺陷1.晶体有弗仑克尔缺陷时填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？ [解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.。