河南省郑州市2016年高三第一次质量预测文科数学（时间120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设全集{}*N 4U x x =∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U A B =I ð（） A.{}1,2,3B.{}1,2,4C.{}1,4,3D.{}2,4,32.设1z i =+（i 是虚数单位），则2z=（） A.iB.2i -C.1i -D.03.cos160sin10sin 20cos10-=o o o o （）A.C.12-D.124.函数()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线斜率为（）A.0B.1-C.1 5.已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,2π上的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.46.按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）A.7i >B.7i ≥C.9i >D.9i ≥7.设双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线214y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A.225514x y -= B.225514y x -= C.225514x y -=D.225514y x -= 8.正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（）A.1-B.1D.29.右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰 直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（） A.23B.43C.83D.210.已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，若11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a ≥C.0a ≤D.0a ≥11.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）B.2- 2- 12.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式()()220f x af x b +-<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（） A.2 B.3C.5D.8第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13-第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.函数()f x =_______.14.若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.15.ABC ∆的三个内角为,,A B C7tan 12π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan A =________.16.已知向量αu r 、βu r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若()()521220αγβγ-⋅-=u r r u r r ，则γr的最大值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，前4项和428S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.（本小题满分12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取理200人进行调查，当不处罚时，由80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率.（Ⅰ）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其它市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？19.（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=o ，12AB AD CD ==，BE DF ⊥.（Ⅰ）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（Ⅱ）若2AB =，求四棱锥E ABCD -的体积.E F D CABM20.（本小题满分12分）已知点()1,0M -，()1,0N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点.当CD 的斜率为1-时，求直线CD 的方程.21.（本小题满分12分）设函数()21ln 2f x x m x =-，()()21g x x m x =-+，0m >.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数.请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F .（Ⅰ）求证：EC EF =；（Ⅱ）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为212x y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+ （Ⅰ）解不等式()1f x >；（Ⅱ）当0x >时，函数()()210ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围.ABEFCD郑州市2016年高中毕业年级第一次质量预测文科数学参考答案一、选择题ACCCC BCBAC DD二、填空题 13.{}|0;≥x x 14.;24π15.1;16.13.2三、解答题（共70分）17.解：⑴由已知条件:21415,43428,2=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩a a d S a d ………………………2分 11,4.=⎧∴⎨=⎩a d ………………………4分 ()114 3.n a a n d n ∴=+-⨯=-………………………6分⑵由⑴可得()(1)(1)43n n n n b a n =-=--………………………8分()21591317......8344.n T n n n =-+-+-++-=⨯=………………………12分18.解：⑴设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，……2分则()401.2005p A ==………………………4分 ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.……………6分 ⑵由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，设从A 类市民抽出的两人分别为1A 、2A ，设从B 类市民抽出的两人分别为1B 、2B . 设从“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，………………………8分则事件M 中首先抽出1A 的事件有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()1122,,,,A B A B()1122,,,A B B A ，()1221,,,A B A B ，()1212,,,A B B A 共6种.同理首先抽出2A 、1B 、2B 的事件也各有6种.故事件M 共有4624⨯=种.………………………10分设从“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2121,,,B B A A .()41.246P N ∴== ∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16.………………………12分19.⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， 因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF .……………………4分 ⑵解：取CD 中点为G ，连结,BG EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，……………………7分 所以，ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，……………………8分在梯形ABCD 中1,//2AB CD DG AB DG ==，所以四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，所以BG ⊥平面CDEF ，又因为DF ⊂平面CDEF ，所以BG DF ⊥，又BE DF ⊥，BE BG B =I ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥.……………………10分注意到Rt DEG Rt EFD ∆∆:，所以28DE DG EF =⋅=，22DE =，所以1423E ABCD ABCD V S ED -=⋅=.……………………12分20.⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+，……………………2分整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求.……………………4分⑵解：由题知12l l ⊥，且两条直线均恒过点(1,0)N ，……………………6分 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ， 则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，由2,y x y x t =-⎧⎨=-+⎩，解得点22(,)22t t P +-，……………………8分由圆的几何性质，1||||2NP CD ==9分 而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||EP =， 解之得0t =，或3t =，……………………10分所以直线CD 的方程为y x =-，或3y x =-+.……………………12分21.⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，(()x x f x x-'=，…………2分当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，当x >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.综上：函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是.……………………5分⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，……………………6分(1)()()x x m F x x --'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；………………8分当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增， 注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， 所以()F x 有唯一零点；……………………11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.……………12分 22.⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠， EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠，AE 平分BAC ∠，所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =.……………………4分⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， 所以CEA DEC ∆∆:，……………………6分即2,CE DE EC EA EA CE DE ==，由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =，…………8分 所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=.……………………10分 23.2分 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.…………………………………………5分 （Ⅱ）1C 的直角坐标方程为由（Ⅰ）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为………………………10分24.解：（Ⅰ）①当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立；②当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<， ③当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-，……3分 ∴原不等式的解集是{}|0x x <．………………………5分（Ⅱ）因为1()11g xax x=+-≥，当且仅当x a =时“=”成立， 所以min ()1g x =，-----7分12,02,()3,2x x f x x -<≤⎧=⎨->⎩，所以()[3,1)f x ∈-，-----9分 ∴11≥,即1a ≥为所求．-----10分。