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例7 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离)随时 间 t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
dV Q= = 0.62 ⋅ S 2 gh , dt
则100年后镭的质量为： m = m0e
−
ln 2 .100 1600
≈ 0.9576m76%
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例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 y = f ( x ) 绕 x 轴旋转而成 . T 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, y Mα 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 y α 可得 ∠OMA = ∠ OAM = α A o P x 从而 AO = OM y 而 AO = AP − OP = y cot α − x = − x y′ 2 2 OM = x + y y − x = x2 + y2 于是得微分方程 : y′
1 − t 6
1 dx = − ( x − 0.03), ⇒ x = 0.03 + Ce dt 6
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t = 0 = 0.1, ∴C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到 0.056%.
CO 2 的通入量 = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03, CO 2 的排出量 = 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
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CO 2 的改变量 = CO 2 的通入量 − CO 2 的排出量
12000dx = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03 − 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
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说明:
C y = 2C ( x + ) 2
2
y
A
若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将 C d x+ = h, y = 2 2 d2 代入通解表达式得 C = 8h 这时旋转曲面方程为
d ⎛ d ⎞ y +z = ⎜ x+ ⎟ 4h ⎝ 16h ⎠
m0 质量变为 。求衰变过程中镭的质量 m(t ) 随时间 t 2 变化的规律.并求 100 年后镭的质量是多少？
解： 设 t 时刻，镭的质量为 m = m (t ) 。则
dm = − λm ，其中 λ > 0 是比例系数 dt ⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
k − t ⎧ mv 0 (1 − e m ) x = x( t ) = ⎪ k 解得 ⎪ ⎨ k − t mg m2g ⎪ y = y( t ) = h − t + 2 (1 − e m ) 0 ⎪ ⎩ k k
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例9
设位于坐标点的甲舰向位于点 A(1,0 ) 处的乙舰发
dm 用微元法建立 m 关于 t 的变化率 的方程。 dt
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(2) 列方程
t 到 t + dt 的时间间隔内 , 溶液含盐量的变化 dm = m ( t + dt ) − m ( t ) t 时刻 , 溶液量为 Q( t ) = Q0 + 3t − 2t = 100 + t (Q0 = 100) m(t ) m(t ) t 时刻 , 溶液的浓度为 = Q ( t ) 100 + t
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⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
1 ∴ ∫ dm = ∫ − λdt , ln m = − λ t + ln C , m
即 m = Ce − λt ,
− λt
代入 m t = 0 = m0 得 C = m0
m0 又 m t =1600 = ∴ m = m0 e 2 ln 2 ln 2 − t 1600 代入上式解得 λ = ∴ m = m0 e , 1600
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利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为 dx x x 2 (齐次方程) = + 1+ ( ) y dy y x dx dv 令 v = , 则 x = yv , =v+ y y dy dy dv y = 1+ v2 y 2 dy v + 1+ v = C 2 积分得 ln ( v + 1 + v ) = ln y − ln C y ( − v )2 = 1 + v 2 2 C 2yv y =1 故有 2 − C C C 2 代入 y v = x , 得 y = 2 C ( x + ) (抛物线) 2 C 2 2 故反射镜面为旋转抛物面. y + z = 2C ( x + ). 2
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一 利用物理定律列方程
例 1 物体冷却问题 一个物体在冷却过程中，其温度变化速 度与其本身的温度和环境的温度之差成正 比。现有一个100 0 C 的物体，放在 20 0 C 的房 间里，经过 20 分钟后，物体的温度已降为
60 0 C ，问还需经过多长时间，物体的温度才
o
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则 即
v0 t − y y′ = 1− x (1 − x ) y′ + y = v0 t
x
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
(1)
o
由题意
∫0
1 + y′ 2 dx = 5v0 t
( 2)
1 x 由(1),(2)消去 v0t 得 ∫ 1 + y′ 2 dx = (1 − x ) y′ + y 5 0 1 1 + y′ 2 ( 3 ) 上式两边求导并整理得 (1 − x ) y′′ = 5 y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0 并有初始条件
射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准乙舰.设乙舰以速 度 v0 沿平行于 y 轴的直线行驶,已知鱼雷速度是 5v0 , 求鱼雷航行的曲线方程,并问乙舰航行多远时,将被鱼 雷击中?
设鱼雷的运动轨迹为 解： y = y( x ) 并设经过时间 t鱼雷 位于点 P(x,y),乙舰 位于点 Q(1,v0t)
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
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Q S = 1 cm ,
2
h
∴ dV = 0.62 2 gh dt ,
(1)
h h + dh
r
100 cm
设在微小的时间间隔 [ t , t + dt ],
o
水面的高度由h 降至 h + dh , 则 dV = −πr 2dh,
Q r = 100 − (100 − h) = 200h − h ,
能降为 30 0 C ？
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解： 令： t 表示时间，T = T ( t ) 表示物体的温度，则
dT = − k (T − 20)，其中 k > 0 是比例系数 dt ⎧T (0) = 100 初始条件为 ⎨ ， ⎩T ( 20) = 60
解得
T = 20 + 80e
(−
1 ln 2 ) t 20
第六章
第八节 常微分方程的应用
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解微分方程应用题的方法和步骤
1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 比例关系 (1) 根据物理规律列方程； 牛顿第二定律 (2) 利用微元法列方程； 2、 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件 3、 求通解, 并根据定解条件确定特解. 4、 分析解所包含的实际意义
在时间间隔 dt 内 , 流出的液体量为 在时间间隔 dt 内 , 流出的盐量为
2dt
m( t ) ⋅ 2dt 100 + t
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于是得初值问题
2m ⎧ dm ⎪ =− ⎨ dt 100 + t ⎪ m t = 0 = 10 ⎩
（3）解方程得
105 m = m(t ) = (100 + t )2
（4）讨论
t = 60 时， m ≈ 3.91（千克）
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例6 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓 风机通入含 0.03% 的 CO 2 的新鲜空气, 同时 以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机 开动6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x (t )% 在 [ t , t + dt ] 内,