y f x, y 或 F x, y, y 0
2、二阶微分方程
y f x, y, y 或 F x, y, y, y 0
四、微分方程的解 若函数满足，把它及它的导数代入微分方程时， 能使方程恒成立，这样的函数称为微分方程的解。 1、微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常 数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为 微分方程的通解。 ２、微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的（即不含 任意 常数），就称为微分方程的特解。
x
2
y dx xydy 0
2
dy 1 例２ 求解微分方程 dx x y
例3
2 求解微分方程 y ( x y)
例4 探照灯的聚光镜是 一张旋转曲面，它的形 状由XOY坐标面上的一 条曲线L绕x轴旋转而成。 按聚光镜性能的要求， 在其旋转轴（X轴）上 一点O处发出的 一切光线，经它反射后 A 都与旋转轴（X轴）平 行。求曲线L的方程。
y
M
T L
N
2
O

P
S
x
建立微分方程 ydx x

x y
2
dy
形如
dy P x y Q x （１） dx
称为一阶线性微分方程。 所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及 未知函数的导数都是一次的。
dy 2 x y sin x 是一阶线性微分方程。 例如 dx 2 其中 P x x Q x sin x dy 2 y x y sin x 不是一阶线性 dx 微分方程。Biblioteka 分方程的初值问题。记为
F x, y , y 0 y y 0 x x0
例1
验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt
d x 2 是微分方程 k x 0(k 0) 的通解。 2 dt
例2
2
x t 0
求例1中 满足初始条件 的特解。 A ，dx
G y F x C （ 2）
二元方程（２）就称为微分方程（１）的隐式 通解。
dy 2 xy 满足 y x0 1的通解。 例1 求微分方程 dx 例2 求微分方程 xy y ln y 0 的通解。
例3 设降落伞下落后，所受空气阻力与速度成正 比（系数为k，k>0）。设开始速度为0，求降落伞 下落速度与时间的函数关系。 f kv
dt
0
t 0
例3 已知曲线上点 P x, y 处的法线与x轴的 交点为Q，且线段PQ被y轴平分，求曲线方程。
y
Q( x,0)
P x, y
x
x
定义
如果一个一阶微分方程能化成 （１） g y dy f x dx


的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程。
设 g y 和 f x 的原函数分别为 G y 和 F x 。 对(1)两边积分，则得
2 2
否
x y 0 3 y c 是
是
二、微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导 数的阶数。
dy 2x dx
2
一阶 三阶 三阶
x y xy 4 y 3x
4
y 2 y 12 y 5 y sin 2x
三、微分方程的一般形式 1、一阶微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节

微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程
在许多实际问题中，往往不能找出所需要的 函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可 以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样 的关系式就是所谓的微分方程。 例 一曲线通过点 1, 2 ，且在该曲线上任意点 M x, y 处的切线斜率为横坐标的两倍，求这曲线 的方程。
y e
P x dx C1
y Ce
P x dx
五、初值条件 在通解中含有任意常数，为了得到特解必须根据一 些条件来确定这些常数，这种条件称为初值条件。 一阶微分方程
y x x y0
0
二阶微分方程
y x x y0
0
y x x y0
0
六、初值问题
求一阶微分方程 F x, y, y 0 满足初值条
0
件 y x x y0 的特解这样一个问题，称为一阶微
v
mg
例4
质量为1g的质点受外力作用作直线运动，这
外力和时间成正比。在
t 10 s
时，速度等于
50cm / s ，外力为 4 g cm / s 2。问从运动开始经
过了
1min 后质点的速度是多少？
一、定义
如果一阶微分方程可化成
dy y dx x 的形 式，则称为齐次方程。 2 2 问： x y dx xydy 0 是否为齐次方程？
dy P x y 0(2)是对应于(1) 当 Q x 0 时，称 的齐次线性微分方程 dx
当Q
x 0 时，称（1）是非齐次线性微分方程
现在要求非齐次微分方程（1）的解，先来研究 齐次线性方程（2）的解。
dy P x dx 分离变量 y
ln y P x dx C1
一、微分方程 凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之 间的关系的方程。（未知函数的导数必须出现。） 如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为 常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变 量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微 分方程. 判断下列方程是否为微分方程：
x xy y 0


二、分离变量(换元法)
y 设u x
则y
xu
dy du ux dx dx
du u 代入齐次方程 u x dx
du x u u dx
y 两边积分,得到u和x的函数,再将u换成 ,即得 x 所给齐次方程的解.
例１ 求解方程
du dx 分离变量,得 u u x