常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。

例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。

在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等，都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。

此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。

它们往往互相联系、互相促进。

例如，几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。

一、常微分方程在几何学的应用在几何应用问题中，列的方程常常是含有变限定积分的方程。

在求解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。

凡是能用定积分计算的量，一定分布在某个区间(比如[]b a ,)上，并且对于该区间具有可加性，曲边梯形的面积A 与区间[]b a ,有关，当把[]b a ,分成n 个部分区间时，则所求量A 也相应地分成n 个部分量),,2,1(n i A i =∆，而A 就等于所有这些部分之和，即∑=∆=ni i A A 1，这时我们就称面积A 对区间[]b a ,具有可加性，几何中的面积、弧长，曲线方程等都具有这种特性。

在求解微分方程的应用问题时，列出方程是关键性的一步，一定要逐字逐句地仔细阅读题目，根据题目的要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程，应用问题常常是初值问题。

因而，要从题设中确定未知函数满足的初始条件。

常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合，达到简易直观的效果。

利用y '表示曲线)(x f y =上()y x ,点处的切线斜率或dydx-表示曲线)(x f y =上()y x ,点的法线斜率以及⎰xa dtt f )(表示由曲线)(x f y =)0)((≥x f ，直线a x x x ==,，x 轴所围图形的面积等方面的意义，列方程。

解方程，在求解过程中一定要对常微分方程的解法熟悉于心，才能得心应手。

首先要审视方程，判断方程类型，属于一阶微分方程还是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。

根据不同类型，确定解题方案。

下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应用。

例1［2］、设)(x f y =是第一象限内连接点)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影。

O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式。

解：根据题意有：0)1(,1)0(==f f且[]316)()(1231+=++⎰x dt t f x f x x，将上式两边对x 求导数，得[]2)()(2)(1212x x f x f x x f =-'++ 当10≤<x 时，可化为一阶线性微分方程：xx x f x x f 1)(1)(-=-' 方程两边同除x ，即得211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛ 积分可得c xx x x f ++=1)(于是，方程通解为cx x x f ++=1)(2 把0)1(=f 代入通解，可确定常数2-=c 故所求函数)(x f 的表达式为：.xy10,)1(21)(22≤≤-=-+=x x x x x f例2［2］、在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点),(y x p 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数，(Q 是法线与x 轴的交点)，且曲线在点)1,1(处切线与x 轴平行。

解：见图，所求曲线为)(x f y =，于是其在),(y x p 点处的曲率为：232232)1()1(y y y y k '+''='+''=(∵曲线为凹的，∴0>''y )曲线)(x f y =在),(y x p 点处的法线方程：)0)((1≠'-'-=-y x X y y Y它与x 轴的交点Q 的坐标)0,(y y x Q '+，于是21222)1()(y y y y y PQ '+=+'=， 由题设PQk 1=， 即212232)1(1)1(y y y y '+='+''21y y y '+='⇒——这是不显含x 的方程 初始条件为，1|1==x y ，0|1='x y 令dydppy p y =''=',，于是方程变为 y dydp pp p dy dp yp=+⇒+=2211xy12ln )1ln(21c y p +=+⇒， 代入0|1='=x y ，得01=c11222-±=⇒-=⇒y p y p ，积分得22)1()1ln(c x y y +-±=-+ 代入1|1==x y ，得02=c 故所求曲线为：)1(21-±=-+x e y y ，即)(21)1(1---+=x x e e y例3［3］、已知曲线过)1,1(点，如果把曲线上任一点P 处的切线与y 轴的交点记作Q ，则以PQ 为直径所做的圆都经过点)0,1(F ，求此曲线方程。

解：见图所求曲线设为)(x f y =于是切线方程为)(x X y y Y -'=- 切线PQ 与y 轴的交点Q 的坐标为),0(y x y Q '-设M 点为切线段PQ 的中点，坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛'-2,2y x y x∵圆经过点)0,1(F ∴MF MQ =于是得方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=1|11112x y x y x y y ①令z y =2，则方程①xx z x z x y x y 222111)(2122+-='⇒+-='⇒ ② (1)c x z dx x z dz z x z ln ln 2ln 22+=⇒=⇒='2cx z =(2)令2)(x x c z =为②的解，代入并整理，得32222)(22)(xx x c x x x c +-='⇒+-=' c xx x c ~12)(2+-=⇒ 故②的通解为：222~12~12x c x x c x x z +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 即方程的通解为22~12x cx y +-=， 代入初值1|1==x y ，得0~=c故所求曲线为122-=x y例4［1］、在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。

解：取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，(见图)。

设所求曲面由曲线⎩⎨⎧==0)(z x f y ① 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面问题归结为求xy 平面上的曲线)(x f y =的问题。

x过曲线)(x f y =上任一点),(y x M 作切线NT则由反射定律：入射角等于反射角，容易推知21αα= 从而ON OM = 注意到NPMPtg dx dy ==2α 及22,,y x OM y MP x OP +=== 就得到函数)(x f y =所满足的微分方程式22yx x ydx dy ++=这是齐次方程。

设xy=μ，将它化为变量分离方程求解 得)2(2x c c y += c 为任意常数故反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22x c c z y +=+二、常微分方程在机械振动中的应用常微分方程与物理联系甚为广泛，下面我们就一起来看一下常微分方程在机械振动中的应用，常微分方程解决力学问题需要：建立坐标系，对所研究物体进行受力分析； 根据牛顿第二定律ma F =，列方程； 解方程。

下面，让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。

例1［2］：一个质量为m 的船以速度0v 行驶，在0=t 时，动力关闭，假设水的阻力正比于n v ，其中n 为一常数，v 为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系。

解：船所受的净力=向前推力-水的阻力=n kv -0， 加速度=速度对时间的导数，即dtdva =， 于是，由题设有⎪⎩⎪⎨⎧=-==00|v v kvdtdv m t n 现在要求的不是速度与时间的关系，而是速度与距离的关系，设距离为x ，于是，上述方程可化为：n kv dx dvmv dt dx dx dv m dt dv m -==⋅= kdx dv mv n -=⇒-1 (※)当2≠n 时，两边积分，得c kx nmv n +-=--22把0|,|000====t t x v v 代入上式，得nmv c n -=-220故nn v x mn k v --+--=202)2( 当2=n 时，(※)kdx dv mv -=⇒-1， 积分得x mk cev -=，将初值代入，得0v c = 故x mk ev v -=0例2［2］、两个质量相同的重物挂于弹簧下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物伸长为a 。