6.1.4 平面向量的数乘运算
职业中学数学组
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复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
1.向量加法三角形法则: b
a
o.
a+b A B
特点:首尾顺次连，起点 指终点 b a
O. B
a+b
A C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:起点相同,对角为和
2
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
2b
6
2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a; (2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a
a
的方向相同；
a 的方向相反。 特别的，当 0 时， a 0.
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(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
3(2a )
b a
2(a b ) 的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 7



思考:
(1)若b a(a 0),则a, b位置关系如何 ?
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
a
P
3a 3a 与 a方向相反
即 3a 3 a
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一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向 规定如下：
（1）
| a || || a |;
（2）当 0时， a 的方向与 当 0时， a 的方向与
即a与b共线
b a (a 0)
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例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) a 5b
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
a 5b 2c
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课堂小结：
一、
λ a 的定义及运算律 (a≠0) 向量a与b共线 b=λa
二、向量共线定理
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b
a
b
a
o.
a-b A
B
向量减法三角形法则: 特点：平移同起点，方向指被减
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作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出 a a a ,你能发现什么？ a
O
a
A
a
B
a
C
3a
3a与 a 方向相同 即 3a 3 a
(a) (a) (a) 又如何呢？ 类比上述结论，
a
N M
a
Q