a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。a
3(2a)

3(2a)
=
6a
b a

2a
2b
uuuur MD
。
D
C
M
b
A
r a
B
r b
O
r aA
BA a b
作一作，看成果
ห้องสมุดไป่ตู้
已知非零向量
r a
,作出
r a

r a

r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
3a O
A
B
C
rr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
类比上述结论，(ar )

r (a)

r (a)
又如何呢？
rrr a a a
N
M
Q
P
r 3a
r 3a与
r ar方向相r 反
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） | a || || a |;
（2）当
当


0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE
A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
例3.如uAuBu图r ，ar平, uAu行Dur四边br 形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相Muu交uAr、于uMuu点Br、MuMu，uCur 且和
r r r r
a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a 12a
(2)3(a

b)

2(a

b)

a
5b
(3)(2aa3b5bc)2c(3a
2b
c)
思考:
(1)若b r a(ra 0),则a,b位置关系如何? b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相连，自始而 终
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和

B aC
b
a

b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点：平移同起点，br方向B指被减 uuur r r

a

b
2b
2(a b ) 2a 2b

2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
r
r
特别地:（ ）a a