专题八 立体几何初步第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分2019年1.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．2.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V 111012AB BC DD ⨯⨯⨯=.3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为21124V Sh π⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭.4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心.连接BO 并延长，交AC 于G ， 则AC BG ⊥，又,PO AC PO BG O ⊥=I ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC. 因为E ，F 分别是P A ，AB 的中点，所以EF PB P .又90CEF ∠=︒，即EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC . 所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC.又因为PA PB PC ==，ABC △是正三角形， 所以PAC PBC PAB △≌△≌△，故PA PC ⊥ 所以正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为正方体的体对角线的长度，即2226d PA PB PC =++=, 半径为62， 则球O 的体积为346π6π3⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选D ． 5.解析：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即11(46)3(26)32722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =⨯=． 故选B ．6.解析：由三视图还原原几何体如图所示，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积()1-444-2+424=402V V V ==⨯⨯⨯⨯⨯正方体四棱柱.2010-2018年1．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，DCBA P易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ∆，PAB ∆为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ．BC PB ⊥，∴PBC ∆为直角三角形，容易求得3PC =，5CD =22PD =，故PCD ∆不是直角三角形，故选C ．解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．PDCBA2．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N=B ．SNM图① 图②3．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A ．4．B 【解析】设等边三角形ABC的边长为x ，则21sin 602x =o 6x =． 设ABC ∆的外接圆半径为r ，则62sin 60r=o，解得r =，所以球心到ABC ∆所在平面的距离2d ==，则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC-体积的最大值max 116633ABC V S ∆=⨯=⨯=B ．5．D 【解析】如图以1AA 为底面矩形一边的四边形有11AAC C 、11AA B B 、11AA D D 、11AA E E 4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D ．E 1E AA 1D CD 1C 1B 1B6．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积1(12)2262V =⨯+⨯⨯=．故选C ． 7．B 【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为12(24)2122⨯+⨯=．选B ．8．B 【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半， 其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π， 故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为21(3)14632ππ⨯⨯=．选B ．9．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径2r BC ==，那么圆柱的体积是223()124V r h πππ==⨯⨯=，故选B ． 10．A 【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），其体积为：21111(13)(213)132322ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．选A ．11．B 【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，=B ．12．C 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R，则2R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ． 13．A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为r ，故37428833r ππ⨯=，所以2r =， 表面积227341784S r r πππ=⨯+=，选A ．14．C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．15．B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为2(9 +18+16．C 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ，故选C ．17．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 18．A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A ．19．D 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15．A 1AC20．B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P ABC -，表面积为21122222⨯⨯⨯+⨯=+21．A 【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，212x h-=，所以22h x =-， (0,1)x ∈，长方体体积2232216)2(22)2()327x x x V h x x ++-==-=长方体≤， 当且仅当22x x =-，即23x =时取等号，2121233V ππ=⨯⨯=圆锥，故材料利用率为16827293ππ=，选A ．22．B 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．23．B 【解析】如图，B D CA设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A - BCD，最长的棱为22(42)26AD=+=，选B．24．C【解析】原毛坯的体积2(3)654Vππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积2212(2)4(3)234V V Vπππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127VV'-=．25．A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)2132S=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=+表26．A【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A．27．D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积1232S S S S S S=-+++正方形斜面，其中1S是长方体的表面积，2S是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，3S是三棱柱的一个底面的面积，可求得2138()S cm=，选D．28．C【解析】由题意可知AD BC⊥，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面11DB C，又2sin603AD=⋅=o11111113231332A B DC B DCV AD S-∆=⋅=⨯=，故选C．29．A 【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，2112S ππ=⨯⨯=侧． 30．B 【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l 的14圆柱，所以该几何体的体积为321221284ππ-⨯⨯⨯⨯=-． 31．C 【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积22S rh ππ==．32．B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．33．A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 34．A 【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱．35．C 【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=36．B 【解析】由三视图可知该几何体的体积：221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=． 37．D 【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D ．38．C 【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积12(24)444242S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯24+48=+39．D 【解析】选项A 正确，∵SD ⊥平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以AC SD ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，而BD 与SD 相交，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC SB ⊥；选项B 正确，因为AB CD P ，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面SCD 内，所以AB P 平面SCD ；选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角ASO ∠，SC 与平面SBD 所成的角CSO ∠，易知这两个角相等；选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于SCD ∠，而DC 与SA 所成的角等于SAB ∠，易知这两个角不相等．40．C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 41．B 【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm ，高为2cm ，的正四棱柱，其体积为344232()cm ⨯⨯=；下半部分是上、下底面边长分别为4cm ，8cm ，高为2cm 的正四棱台，其体积为1224(164864)233⨯+⨯+⨯=，故其总体积为2243203233+=． 42．112【解析】连接1AD ，1CD ，1B A ，1B C ，AC ，因为E ，H 分别为1AD ，1CD 的中点，所以EH ∥AC ，12EH AC =，因为F ，G 分别为1B A ，1B C 的中点，所以FG ∥AC ，12FG AC =，所以EH FG ∥，EH FG =，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG HF =，EH HG =，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M EFGH -的体积为211132212⨯⨯=． 43．43【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正，则该正八面体的体积为214233⨯⨯=． 44．OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长为x （05x <<），则6OG x =，56GE x =-． G ODFECBA由题意可知三棱锥的高h===底面24ABCS x∆=，三棱锥的体积为2134V x=⨯=设45()5h x x x=，则34()20h x x x'=-（05x<<），令()0h x'=，解得x=(0,x∈时，()0h x'>，()h x单调递增；当x∈时，()0h x'<，()h x单调递减，所以x=()h x取得最大值4h=所以2max1212V==⨯=45．9π2【解析】设正方体边长为a，由2618a=，得23a=，外接球直径为23R==，344279πππ3382V R==⨯=．46．22π+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1，所以2π1π21121242V⨯=⨯⨯+⨯⨯=+．47．32【解析】设球的半径为r，则213223423V r rV rππ⨯==．48．2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为121323⨯⨯⨯=(3m)．49．83π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133Vπππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．50．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则216234h ⨯⨯⨯=，解得1h =，2=，该六棱锥的侧面积为1122122⨯⨯=． 51．PA ⊥平面ABC ，2PA =，AB BC ==2CA =，所以PB ==，PC ==52．32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是12,r r ，母线长分别是12,l l ． 则由1294S S =，可得1232r r =．又两个圆柱的侧面积相等，即112222rl r l ππ=， 则112223l r l r ==，所以111222923432V S l V S l ==⨯=． 53【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为直径，即2r =，即球半径2r a =．若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a =54．1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的 相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比 为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24． 另：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=，所以121:24V V =．55．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ⨯⨯⨯⨯． 56．92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是12(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=．57111322sin 60332ABC V PA S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=o．58．13【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416r R ππ=，所以r R =，则小圆锥的高为2R，大圆锥的高为32R ，所以比值为13．59．【解析】（Ⅰ）证明：PD ⊥平面,,ABCD PD PCD ⊂∴平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD I 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥， ∴MD ⊥平面PCD ，,,,,,CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF ⊂∴⊥⊥⊂平面又平面MD MF M =I ，∴CF MDF ⊥平面．（Ⅱ）00,,60,30,CF MDF CF DF PCD CDF ⊥∴⊥∠=∴∠=Q 平面又易知11==,22CF CD 从而12,,,2DE CF EF DC DE PE DP CP ∴=∴=∴=Q ∥128CDE S CD DE ∆=⋅=，22MD ====11.338216M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅=⋅=60．【解析】（Ⅰ）由已知得ABC DBC ∆≅∆，因此AC DC =，又G 为AD 的中点，CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BCG ,又EF AD ∥,∴EF ⊥平面BCG ．G B CDAO FE（Ⅱ）在平面ABC 内，做AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BCD ，又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h 是AO 的一半，在AOB ∆中，sin 603AO AB =⋅=o，所以1132D BCG G BCD DBG V V S h --∆==⨯⨯=． 61．【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交1A C 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点，因为D 为AB的中点，所以OD ∥1BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ， 所以1BC //平面1A CD ；（Ⅱ）由题意知 CD ⊥平面11ABB A ．再由12AA AC CB ===，22AB =得 90ACB ∠=o，2CD =，16A D =，3DE =，13A E =．故22211A D DE A E +=，即1DE A D ⊥所以111632132C A DE V -=⨯⨯⨯⨯=． 62．【解析】（Ⅰ）证明：连接AC ，交于BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以,AC BD BO DO ⊥=，由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O ⋂=知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．（Ⅱ）解：因为E 是P A 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----=== 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ≅V V 因为60BAD ∠=o ,所以1PO AO AC BO ====.又222,PA PO AO PA PO AC =+=⊥即.故132APC S PO AC =•=V . 由（1）知，1111,2232P BCE B APC APC BO APC V V BO S --⊥==•••=V 面因此． 63．【解析】（1）由已知可得AE =3，BF =4，则折叠完后EG =3，GF =4，又因为EF =5，所以可得EG GF ⊥，又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG .（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G -EFCD 的高， 所以所求体积为11124516335CDEF S GO ⋅=⨯⨯⨯=． 64．【解析】（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ．又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC ．在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ =2PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ . （II ）设AB =a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ ，△DCQ 的面积为22a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1．。