2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何一、选择题1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度则球的体积为）A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[]A ．若αβ⊥m α⊂n β⊂则m n ⊥B ．若//αβm α⊂n β⊂则//m nC ．若m n ⊥m α⊂n β⊂则αβ⊥D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:164 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2C ．2-12D ．2+128 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示则该四棱台的体积是（ ）A ．4B．69 ．（2013年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线⊥m 平面α⊥n 平面β直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄则（ ） A ．βα//且α//l B ．βα⊥且β⊥l C ．α与β相交且交线垂直于l D ．α与β相交且交线平行于l10．（2013年普通等学校招生统一试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C-的正三角形若P 为底面111A B C 的心则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A11．（2013年普通等学校招生统一试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示则该几何体的体积为（ ）A．200D ．240正视图 俯视图 侧视图第5题图12．（2013年普通等学校招生统一试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上若34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =则球O 的半径为（ ）A ．3172B ．210C ．132D ．310 13．（2013年江西卷（理））如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上且AB CD正方体的六个面所在的平面与直线CEEF 相交的平面个数分别记为,m n 那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1114．（2013年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)画该四面体三视图的正视图时以zOx 平面为投影面则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2013年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题不是公理．．的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线16．（2013年普通等学校招生统一试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间过点A 作平面π的垂线垂足为B 记)(A f B π=设βα,是两个不同的平面对空间任意一点P )]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==恒有21PQ PQ =则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为06017．（2013年四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示则该几何体的直观图可以是二、填空题18．（2013年上海卷（理））在xOy 平面上将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D 如图阴影部分记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面所得截面面积为2418y ππ-+试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体得出Ω的体积值为__________19．（2013年陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示 则其体积为________112120．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD ）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆其公共弦长等于球O 的半径32OK =且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60则球O 的表面积等于______21．（2013年北京卷（理））如图在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1E 为BC 的点点P 在线段D 1E上点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________ 22．（2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图在三棱柱ABC C B A -111F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的点设三棱锥ADE F -的体积为1V 三棱柱ABC C B A -111的体积为2V 则=21:V V ____________1D 1B P D1CC E B A 1A23．（2013年普通等学校招生统一试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示则此几何体的体积等于________2cm24．（2013年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1P 为BC 的点Q 为线段1CC 上的动点过点APQ 的平面截该正方体所得的截面记为S 则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号)[]①当102CQ <<时S 为四边形;②当12CQ =时S 为等腰梯形;③当34CQ =S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时S 为六边形;⑤当1CQ =时S 的面积为6225．（2013年普通等学校招生统一试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积是____________4323 3正视图侧视图 俯视图（第12题图） A B C1A D E F1B 1C26．（2013年普通等学校招生统一试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体如果该组合体的正视图测试图俯视图均如图所示且图的四边形是边长为2的正方形则该球的表面积是_______________27．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______三、解答题28．（2013年普通等学校招生统一试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图AB 是圆的直径PA 垂直圆所在的平面C 是圆上的点(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1C 1 B 1 A 1DC AB29．（2013年普通等学校招生统一试重庆数学（理）试题（含答案））如图四棱锥P ABCD -PA ABCD ⊥底面2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=F 为PC的点AF PB ⊥ (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值1．（2013年普通等学校招生统一试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图圆锥顶点为p 底面圆心为o 其母线与底面所成的角为225°AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦轴OP 与平面PCD 所成的角为60°(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠1．（2013年普通等学校招生统一试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图在四面体BCD A -⊥AD 平面BCD 22,2,==⊥BD AD CD BC M 是AD 的点P 是BM 的点点Q 在线段AC 上且QC AQ 3=(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060求BDC ∠的大小2．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）如图在正三棱锥111ABC A B C -16AA =异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3．（2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分 如图在三棱锥ABC S -平面⊥SAB 平面SBC BC AB ⊥AB AS =过A 作SB AF ⊥垂足为F 点G E ，分别是棱SC SA ，的点求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥4．（2013年上海卷（理））如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1AB=2AD=1A 1A=1证明直线BC 1平行于平面DA 1C 并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离D 1C 1B 1A 1DC B A5．（2013年湖北卷（理））如图AB 是圆O 的直径点C 是圆O 上异于,A B 的点直线PC ⊥平面ABC E F 分别是PA PC 的点 AB SGF EB 1 A 1C 1 AC B(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系并加以证明;(II)设(I)的直线l 与圆O 的另一个交点为D 且点Q 满足12DQ CP =记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ异面直线PQ 与EF 所成的角为α二面角E l C --的大小为β求证:sin sin sin θαβ=6．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1在等腰直角三角形ABC 90A ∠=︒6BC =,D E 分别是,AC AB 上的点2CD BE ==O 为BC 的点将ADE ∆沿DE 折起得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-其3A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值7．（2013年普通等学校招生统一试天津数学（理）试题（含答案））如图 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1侧棱A 1A ⊥底面ABCD AB //DC AB ⊥AD AD = CD = 1 AA 1 = AB = 2 E 为棱AA 1的点 (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26求线段AM 的长 CO B D EACD O BE 'A 图1 图2 第19题图8．（2013年新课标1（理））如图三棱柱ABC-A 1B 1C 1CA=CBAB=A A 1∠BA A 1=60°(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1BAB=CB=2求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值9．（2013年陕西卷（理））如图 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形 O 为底面心 A 1O ⊥平面ABCD 12AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小O D 1B 1C 1DA CB A 1 10．（2013年江西卷（理））如图四棱锥P ABCD -PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，连接CE 并延长交AD 于F (1)求证:AD CFG ⊥平面; (2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值11．（2013年四川卷（理））如图在三棱柱11ABC A B C -侧棱1AA ⊥底面ABC 12AB AC AA ==120BAC ∠=1,D D 分别是线段11,BC B C 的点P 是线段AD 的点[] (Ⅰ)在平面ABC 内试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l 说明理由并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)的直线l 交AB 于点M 交AC 于点N 求二面角1A A M N --的余弦值 D 1D CB A 1B 1C 1AP12．（2013年普通等学校招生国统一招生试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分如图在直三棱柱111A B C ABC -AC AB ⊥2==AC AB 41=AA 点D 是BC 的点(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值(2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值13．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图四棱锥P ABCD -902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形 (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小14．（2013年普通等学校招生统一试山东数学（理）试题（含答案））如图所示在三棱锥P ABQ -PB ⊥平面ABQ BA BP BQ ==,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的点 2AQ BD =PD 与EQ 交于点G PC 与FQ 交于点H 连接GH(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值15．（2013年湖南卷（理））如图5在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=13AD AA ==(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值16．（2013年普通等学校招生统一试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图在四棱柱1111ABCD A B C D -侧棱1AA ABCD ⊥底面//AB DC 11AA =3AB k =4AD k =5BC k =6DC k =(0)k >(1)求证:11;CD ADD A ⊥平面(2)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67求k 的值; (3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完相同则视为同一种拼接方案问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱记其最小的表面积为()f k 写出()f k 的表达式(直接写出答案不必要说明理由)17．（2013年普通等学校招生统一试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））如图直棱柱111ABC A B C -,D E 分别是1,AB BB 的点122AA AC CB AB ===(Ⅰ)证明:1//BC 平面1ACD ; (Ⅱ)求二面角1D AC E --的正弦值18．（2013年北京卷（理））如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1AA 1C 1C 是边长为4的正方形平面ABC ⊥平面AA 1C 1C AB=3BC=5(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D 使得AD ⊥A 1B 并求1BD BC 的值A BCD1A 1C 1B E。