.
29
（7）矢量的投影
el
a
l
e
l l l
为l 方向的单位矢量
alaelacos
a在自身方向上的投影
当 a 指向已知时a > 0
aaaeaa当
a
指向未知时
a > 0 假设方向对
（8）若
假设 a 的指向为
ea
a < 0 与假设方向 相反
ai bi ail bil
.
30
（9）注意区别：矢量的投影与矢量分解的分量
dt . 指向运动方向
34
加速度 加速度大小
a
dv
r
a vdt r
（1.3）
加速度方向：速度矢端图的切线方向 注意： r(t)v,(t)a,(t) 都与参考空间有关
第一篇 运动学
运动学----从几何角度研究物体的运动规律，如点 的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转 动方程，角速度、角加速度等
一、几个重要概念 1.参考空间（参照系）
参考空间常与某物体（参照物）固连，
但 参考空间参照物
参照物——有限大，参考空间——无限大
描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间
自由度 S —— 广义坐标的个数
.
18
不同研究对象、运动形式与自由度
研究对象
运动形式
空间运动 平面运动
自由
S=3
S=2
质点
非自由
S<3
S<2
质点系
n个质点
刚体
无穷多质点
自由 非自由
自由 非自由
S=3n S<3n S=6 S<6
.
S=2n S<2n S=3 S<3
19
例1.1 分析以下各系统的自由度，并选择一组广义坐标。
方向
指向
（2）图示
（3）矢量相等aΒιβλιοθήκη a 模相等 a=b
ab
方位、指向相同
b.
27
（4）负矢量 ab
a
b
a
方位相同，指向相反
b
（5）单位矢量 ea ea
a
ea 1
2.矢量代数 （1）加减法（矢量和）
cab
平行四边形法则
三角形法则
.
28
(2)数乘 ab
n
（3）矢量的分解 a
a i （分解不惟一）
F
F=10kN
已知方位，未知指向和大小 图示方位，任意假设指向
求出结果若F>0，则假方向设正确，若F<0，则与假
设方向相反
F>0
F
F
F<0
F
完全未知 建立坐标 系xyz，分解为 aaxayaz 则 ax,ay,az 为已知. 方位，未知指向和大小32
3.矢量分析
运动学中，常有矢量函数 aa(t)
.
13
（3）光滑圆柱铰链约束
C
A
B
(4)光滑球铰链约束
.
14
（5）固定铰支座
.
15
（6）活动铰支座
.
16
(7)固定端（固支端）约束
.
17
§ 1.2 广义坐标与自由度
广义坐标qi —— 确定物体在参考空间中位置 的一组独立的几何参数
系统中各质点的空间位置是qi的函数，
系统中各质点的速度是qi和 q i 的函数， 系统中各质点的加速度是qi、q i 和qi 的函数
（1）杆AB，在杆所在的平面内作平面运动
A(xA,yA)
S=3
B
广义坐标：xA, yA,
（2）对杆的平面运动加以约束
S=1
广义坐标： .
S=1
广义坐标： 20
（3）
（4）刚体系统
.
S=0 结构
S=2
广义坐标：，
21
(5)
m
m为质点 S=1 广义坐标：
A
A为圆轮
S=2
广义坐标： ，
.
22
行星轮机构 S=1
3
a3
若沿正交轴分解
e3 e1
a1
a
e2
a a 1 a 2 a 3 a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3
a2
2
则投影等于分量的大小
1
2
若沿斜交轴分解
a2 a
则投影不等于分量的大小
a2
a1 a1
1
.
31
（10）本课程中矢量的表示方法
矢量：大小，方位，指向 完全已知 图示方向、指向，写出大小
任意时刻的矢径 简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关
（2）分析法----建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标 复杂，便于上机，标量方程，结论依赖于坐标系
.
3
.
4
§1 运动学基础
§ 1.1 约束 § 1.2 广义坐标与自由度 § 1.3 点的一般运动及其描述 § 1.4 刚体运动的分类 § 1.5 刚体的基本运动及其描述
(1)矢量的导数 （2）矢量的微分
dd d aa tdl at i0 dm a t，(t常 矢 tt) 量a(d t)a 0
dt
（3）矢量微分的运算规则，若 m m ( t)a , a ( t)
d(m a)dm amda
若
a(t)a1(t)e1(t) a2(t)e2(t)a3 (t)e3(t)
则 dad1ea 1d2ea2d3ea3a1de1a2de2a3de3
.
33
§ 1.3 点的一般运动及其描述
一、点的运动的矢量描述，矢量法
1.点的运动方程
r研M究v对1 v象2 ：点v3M点，点的选的运定运动动参方轨考程迹空间-r-及- - 一rr(参t的)（考矢1.点1端）图
O 速度大小
：
v速2.点度v的v速d度rdd、r，t 加速r速度度方向：沿（轨1迹.2）切线，
.
23
活塞连杆机构 .
S=1
24
四连杆机构 S=2
.
25
讲授过的几个重要概念；
参考空间（参照系） 矢量法 解析法； 约束 广义坐标 自由度
.
26
二、关于矢量代数、矢量分析的复习（附录I）
针对自由矢量（可在空间中自由移动）的常用规则
1.矢量的表示 （1）符号
大小（模） a a
a
方位（作用线）
.
1
动系 s
x
v
y 定系 参考系与运动描述
2.坐标系
在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系、
球坐标系、自然轴系等。
.
2
3.运动的描述 ——任意时刻物体中任意质点的空间位置
由运动方程(含时间)或运动轨迹(不含时间)描述。
运动学----根据已知的运动学量求其他的运动学量 （1）矢量法----在参考空间中选定原点，描述物体
.
5
§1 运动学基础
对于一个系统的运动如何描述？
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
.
11
§1 运动学基础
§ 1.1 约束 约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。
自由物体----运动不受其他物体限制 非自由物体----运动受到周围物体限制 几种典型的约束
（1）柔绳约束， 刚性杆约束
.
12
(2)光滑面约束
i 1
（4a ）b 点 积b （内a 积 ，a 标c 积b ）os a b
（5）叉积（外积，矢积） cabba
cabsin
cb
a
（6）混 合 积 ： 三 个矢 量 的运算 ， 其结 果为 标 量， 记为 ( a , b , c ) a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )