已知：质点M（质量m）， 作用其上的力有F1，F2，…, Fn。 根据牛顿第二定律，在不同 坐标系中，质点在惯性系中 的运动微分方程有以下几种 形式：
矢量形式
mr Fi
i
8.1 质点运动微分方程
直角坐标形式
mx Fix
i
my Fiy
i
mz Fiz
i
8.1 质点运动微分方程
自然坐标形式
FN
mgcos
m
l 2
l
2
8.2 质点动力学的两类基本问题
x
解：4. 讨论 ：
本例如果采用直角坐标形式
建立运动微分方程，建立如图 所示的直角坐标系
y
mx Fix
i
my Fiy
i
mz Fiz
mx FNsin
my
mg
FN
cos
i
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题4
一圆锥摆,如图所示。 质量m=0.1kg的小球系于 长l=0.3m 的绳上,绳的另一 端系在固定点O,并与铅直 线成θ＝60°角。如小球在 水平面内作匀速圆周运动，
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题5
质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为
1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
Fo
FN n r
解：对象：质点；受力：如图；
运动：圆周运动；方程：质点运
动微分方程为
当：
ms
Nanjing University of Technology
理论力学课堂教学软件（8）
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
动力学
质点动力学 动量定理及其应用
动量矩定理及其应用 动能定理及其应用
达朗贝尔原理
第三篇 动力学
H 舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
第三篇 动力学
已知推力和跑道可能 长度，则需要多大的 初速度和一定的时间 间隔后才能达到飞离
作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二
定律有
P mg 或 m P
g
g 9.780491 0.0052884sin2 0.0000059sin2 2
为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们 的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为 导出量，它们的单位则是导出单位。
8.2 质点动力学的两类基本问题
常见问题的数学处理方法
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函பைடு நூலகம்，分离变量积分
d(mv)
dt
n i 1
Fi
在经典力学中质点的质量是守恒的
ma
n
Fi
i 1
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点
的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导
其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。
8.1 质点运动微分方程
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力
数值方法给出质点位置、 速度和切向加速度随时间
的变化规律
o
r
mg (t)
(t ) (t )
f 0.1
t(s)
0 0rad,0 0rad/s,
8.2 质点动力学的两类基本问题
思考题1：给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
（设空气阻力的大小与速度的平方成正比）
yv
A : my mg cy 2
vm
t
d v dt
v0 F (v)
0
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题1
曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动，OA=r，
AB=l，当 r / l 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程
x
l
1
2
4
可近r 似co写s为t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m， 忽略摩擦及连杆AB的质量，试求
第8章 质点动力学
8.1 质点运动微分方程
8.1 质点运动微分方程
理论基础：牛顿定律与微积分
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大
小，加速度的方向与力的方向相同。
积分
dv vx
v0
x
0
得
vy 0
dvy
dx
vx dt
eA m
v0
t
0 cos
vy
ktdt
dy dt
eA mk
sin
kt
8.2 质点动力学的两类基本问题
得
dx vx dt v0
dy eA
vy
dt
sin mk
kt
由 t 0时 x y 0,积分
x
t
dx
0
0 v0dt ,
8.2 质点动力学的两类基本问题 两类问题综合
已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动
已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。
8.2 质点动力学的两类基本问题
求解质点动力学问题的过程与步骤如下
1.对象：确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.受力：进行受力分析，画出相应的受力图； 3.运动：进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 4.方程：列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类 问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解。
mr 0mg
cos
F
(1)
mg 由（2）式解得：
FN
mr2
m s2 mr2 mg sin
r
mg sin
F f FN
FN
(2)
代入（1）式得： mr mg cos f (mr2 mg sin )
同理，当： 0 mr mg cos f (mr2 mg sin )
8.2 质点动力学的两类基本问题
ax x r 2 cos t cos 2 t
max F cos
当 时,
2
ax r 2
且 cos
l2 r2 l
有 mr 2 F l 2 r 2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2 这属于动力学第一类问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题2
，。 、
质量为m的质点带有电 荷e,以速度v0进入强度按 E=Acoskt变化的均匀电场 中,初速度方向与电场强度 垂直,如图所示。质点在电 场中受力F＝－eE作用。已
刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距 离保持不变，也称不变的质点系。
第三篇 动力学
第8章 质点动力学
第三篇 动力学
质点动力学(dynamics of a particle)：研究作用 在质点上的力和质点运动之间的关系。本章主要介
绍质点在惯性系下的运动微分方程。
第8章 质点动力学
8.1 质点运动微分方程 8.2 质点动力学的两类基本问题 8.3 结论与讨论
甲板时的速度。
若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时 的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需 要多长的跑道。
第三篇 动力学
爆破时烟囱怎样倒塌
第三篇 动力学
v1
F v2
棒球在被球棒击打后，其速度的大小 和方向发生了变化。如果已知这种变化
即可确定球与棒的相互作用力。
第三篇 动力学
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
第三篇 动力学
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
航空航天器 的姿态控制
第三篇 动力学
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的研究对象是质点和质点系(包括刚体)。 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
y
dy
eA
t
sin ktdt
0
mk 0
得运动方程
x v0t,
y
eA mk 2
cos
kt
1
消去t, 得轨迹方程
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
单摆由一无重量细
长杆和固结在细长杆一
端的重球组成。杆长为
l，球质量为m。
m
试求：
1. 单摆的运动微分方程；
动力学的基本问题：
第一类基本问题：已知运动求力。 如：万有引力定律的发现。
在求解过程中需对运动方程求导即可。
“我（牛顿）之所以看得远，是因为我站在巨人的肩膀之上。” 牛顿在总结前人的研究成果，包括： 1）哥白尼（1473－1543） 日心说
2）第谷·布拉赫（1546－1601）积累的天文观察资料 3）开普勒（1571－1630）行星三定律
当t 0和 时
，连杆AB所受的力。
2
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：对象：滑块 受力：如右图 运动：平移