式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在 值。
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和
求定未知参数的最佳估
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由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的 限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因 此得到了不同的解向量。 由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
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（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘 的条件 （3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
下求定未知参数的最佳估值。 和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。 （4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即 (s>d) (1-7-7)
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（1-7-46） 式中， ，。 因为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程做适当变动。 将（1-7-46）中的第二个方程左乘 后再加到第一个方程上去， 既得变形后的法方程为 （ 1-7-47） 式中，，。 解法方程，得 （1-7-48） （1-7-49） 可以证明,当 满足条件时，联系数向量K必等于零。故式可简化为 （1-7-50） 代入式（1-7-45），可求得V，即可求得各未知参数的平差值 。
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据 知参数的平差值 要满足BG=0的条件，还要满足条件 (1-7-17) 也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，是的满足式(1-717)所述条件。
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即可求得个未
需要说明的是，在实际计算时，附加阵G不仅
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（二）精度评定公式 1、验后单位权方差 (1-7-18) 式中， 可以直接计算，也可用 计算得到
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五、秩亏自由网平差
秩亏网是在最小二乘和最小范数的条件下求定未知参数的最
佳估值。也可叙述为秩亏网平差是求相容法方程在最小范
数
(1-7-26)
条件下的解。它是加权秩亏网平差 时的特
例。因此，秩亏网平差的各种计算公式均可由加权秩亏网 平差时的计算公式列出。 （一）平差计算公式
等价于约束条件
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的限制条件方程为
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（1-7-27） 式中
BG=0 故秩亏网平差的函数模型为
（1-7-28）
（1-7-29）
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式 （1-7-29）组成法方程，得 (1-7-30) 式中，
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因N为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程作适当变动。将式(1-7-30) 中第二个方程左乘后再加到第一个方程上去，记得变形后的法方程为 (1-7-31) ，式中，
式中
，
因N为降秩方阵，无正常逆，所以
必须对法方程作适当变动。将式(1-7-12)中第二个方程左乘后再 加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为 (1-7-13) 式中，
解法方程，得
(1-7-14)
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(1-7-15)
可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必 等于零。故可简化为
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(1-7-6) 由于det(N)=0,故N为奇异阵，其凯利逆 不存在，此时如 仍按经典平差公式接，将不可能得出唯一的解。 令B的列满秩数为 （B）,B的实际秩数为R(B)， d= (B)-R(B),d即为秩亏数。对于法方程系数矩阵N，必然也 有d=(N)-R(N). 如果d=0,就是经典平差问题；当d 时，就是所谓的秩亏 自由网平差问题。 在实用上，产生秩亏得主要原因是不设起算数据，而且选定 网中高程、坐标等作为平差的未知参数，所以秩亏自由网平差 也叫无固定数据的的自由网平差，简称自由网平差。 具体问题中矩阵B或N的秩亏数d，虽然可以通过计算R(B)或 R(N)求出，实际上并不需要这样做，究其原因可知，秩亏数
2、协因数阵
（1）未知参数的协因数阵为 (1-7-19) 当对G阵进行标准化后，由于 式(1-7-19)可进一步简化为 ，故 (1-7-20) (1-7-21)
（2）观测数据平差值的协因数阵为
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（三）常见附加阵G 采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算非常容易，但必须预先 构建附加阵G。下面是几种常见的附加阵G。
与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网
点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚 拟距离等。
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对三维网，这种约束将要求： .平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）； .平差前后控制网相对其重心不绕X、Y、Z轴旋转（即固定重心 与所有网点连线的平均方位角与天顶距）； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对平面网，这种约束将要求： .平差前后网点重心坐标不变； .平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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六、拟稳平差
拟稳平差是在最小二乘和最小范数（局部解向量的范数 最小） 的条件下，求定位置参数的最佳估值。也可 （1-7-40）
叙述为：拟稳平差是相容法方程
，
在最小范数条件下的解。可见，它是加权秩亏网平差取
时的特例。因此，拟稳平差的各种计算公式也可由加权秩亏 网平差的计算公式直接引出。
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（一）平差计算公式 在式（1-7-40）第二式中，取 并设
（1-7-41） （1-7-42）
则
（1-7-43）
若令 （1-7-44） 则可得拟稳平差的函数模型为 （1-7-45） 此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式（1-7-45 ）组成法方程，得
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其区别仅在于各自选择了不同的先验权阵
。所以我们将先介
绍加权秩亏网平差，然后再介绍秩亏网平差和拟稳平差。自由网 平差的方法很多，本节我们只介绍附加条件法。
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三、自由网平差基准 （一）经典自由网平差基准 实际上是固定某个实际的点的位置，固定一个实际的方位角 ，一条实际的边长等来定义的。 （二）秩亏自由网平差基准
3、原始阵中每一行数据均按（2）所述做同样变换，即可得 到标准化阵。 例：有测边网如下图所示，各点的近似坐标列于下表。若又 已知待定点的先验权阵为
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试求加权秩亏网平差的标准化阵。 表1-7-1
点号 4 3 2 1
解：
计算秩亏网平差时的标准化阵，即计算满足BG=0和
计算网的加权重心点坐标。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
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阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
测绘数据处理
测绘工程教研室 土地科学技术学院
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一、自由网平差概述
在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据 。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程 ；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一 条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起 算数据的平差方法，即自由网平差。 当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为 (1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵 的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
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（二）精度评定公式（ 1、验后单位权方差
） (1-7-36)
式中，
可以直接计算，也可用
计算得到
2、协因数阵
（1）未知参数的协因数阵为 (1-7-37) 当对G阵进行标准化后，由于 式(1-7-19)可进一步简化为 ，故 (1-7-38) (1-7-39)
（2）观测数据平差值的协因数阵为
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（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值列于表1-7-2. 表1-7-2
点号
/km
4
3 2 1
(3)原始阵 确定。 由于是测角网，根据式(1-7-23),即可得到测边网原始阵 （按角度平差 ）
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（4）求解
（5）标准化阵确定 把原始阵中的第一行、第二行、第三行分别乘以 ，即可求得标准化阵为
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在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
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det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
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点号
P1 P2 P3 P4
/m
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（1）计算网的重心点坐标