2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的表面积公式 24S R π=, 球的体积公式334V R π=,其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()C (1)(0,1,2,)k n kn nP k p p k n -=-=L 第Ⅰ卷 （选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）设全集{}*U 6x Nx =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B = ð（ ）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式302x x -<+的解集为（ ）（Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x > （3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=( )(A) 53- (B) 19- (C) 19(D) 53（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是( )(A) 11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y ex -=+> (C) 11(R )x y ex +=-∈ (D) 11(R )x y ex -=+∈(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =( )(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S A B C -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( ) （A ）34（B ）54（C ）74（D ）34（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（10）ABC V 中，点D 在A B 上，CD 平分ACB ∠．若C B a =uur r ，C A b =uur r ，1a =r ，2b =r ，则C D =uuu r（ ）（A ）1233a b +r r （B ）2133a b +r r （C ）3455a b +r r （D ）4355a b +r r（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱AB 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点( )（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 （12）已知椭圆C ：22x a+22by =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α=___________.(14) 91()x x+的展开式中3x 的系数是__________(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM M B =uuu r uuu r，则p =_________.（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13B = ,3cos 5A D C ∠=.求AD.（18）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE=3EB 1.（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45o,求二面角A 1-AC 1-B 1的大小.（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.（21）（本小题满分12分）已知函数32()331f x x ax x=-++.（Ⅰ）设2a=，求()f x的单调区间；（Ⅱ）设()f x在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3).（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，D F BF=17⋅，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考一、选择题1. C2. A3. B4. D5. C6. C7. A8. D9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题 13. 255-14. 84 15. 2 16. 3三、解答题（17）解：由3cos 052A D CB π∠=><知由已知得124cos ,sin 135B A DC =∠=，从而 sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=s i nc o s c o s s i A D C B A D CB∠-∠ 41235513513=⨯⨯⨯ 3365=.由正弦定理得 A Dsin sin B DB B A D =∠,所以sin A D sin B D BB A D⋅=∠53313==253365⨯. （18）解：（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又10a >，故12,1q a ==. 所以 12n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭. 因此()()1111111411414 (4)1 (22442114441314)nn n n n n n T n n n -----⎛⎫=++++++++=++=-++ ⎪-⎝⎭-.（19）解法一：（Ⅰ）连结1A B ,记1A B 与1A B 的交点为F.因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所以1FE=EB ，又D 为1BB 的中点，故1D E BF D E AB ⊥∥，.作C G A B ⊥,G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点. 又由底面A B C ⊥面11AA B B ，得C G ⊥11AA B B .连结DG ，则1D G AB ∥，故D E D G ⊥,由三垂线定理，得D E C D ⊥. 所以DE 为异面直线1A B 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1D G AB ∥，故C D G ∠为异面直线1A B 与C D 的夹角，CDG=45∠.设AB=2，则1AB 22=，DG=2，CG=2,AC =3.作111B H A C ⊥,H 为垂足，因为底面11111A B C AA C C ⊥面,故111B H AA C C ⊥面， 又作1H K AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ,由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B K H∠为二面角111A AC B --的平面角2211111111112223A B A C A B B H A C ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==,22111133H C B C B H=-=,221111232(3)7,37AA H C AC H K AC ⨯=+===,11tan 14B H B K H H K∠==,所以二面角111A AC B --的大小为arctan 14.解法二：（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设AB=2，则A （2,0,0,），1B (0,2,0)，D （0,1,0），13E (,,0)22， 又设C （1,0,c ）,则()()111D E 0B A =2,-2,0,D C =1,-1,c 22⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，uuu r uuur uuu r .于是1DE B A =0,DE DC =0⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r,故1D E B A D E D C ⊥⊥，,所以DE 为异面直线1A B 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1,B A DC <>uuu r uuu r等于异面直线1A B 与CD 的夹角，故11cos 45B A DC B A DC ⋅=⋅o uuu r uuu r uuu r uuu r，即2222242c ⨯+⨯=，解得2c =，故AC (,02)=uuu r-1，，又11AA =BB =(0,2,0)uuu u r uuu r，所以11AC =AC+AA =(1,22)-，uuur uuu r uuu u r，设平面11A A C 的法向量为(,,)m x y z =u r，则110,0m AC m AA ⋅=⋅=u r uuu r u r uuu r,即22020x y z y -++==且.令2x =，则1,0z y ==，故(2,0,1)m =u r.令平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =r,则110,0n AC n B A ⋅=⋅=r uuu r r uuu r，即220,220p q r p q -++=-=令2p =，则2,1q r ==-，故(2,21)n =-r.所以 1cos ,15⋅<>==u r ru r r u r rm n m n m n . 由于,m n <>u r r等于二面角111A -AC -B 的平面角，所以二面角111A -AC -B 的大小为15arccos15.（20）解：记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）123123A A A A A A A =⋅⋅，，，相互独立，3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p =⋅⋅==-,又 P ()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A =⋅⋅⋅⋅⋅， 44134123P (B )P (A +A AA +A A AA )=⋅⋅⋅⋅⋅ 44134123P (A )+P (A AA )+P (A A A A )=⋅⋅⋅⋅⋅ 44134123P (A )+P (A )P (A )P (A )+P (A )P (A )P (A )P (A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891（21）解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(23)(23)f x x x x f x x x '=-++=-+--.当(,23)x ∈-∞-时()0,()f x f x '>在(,23)-∞-单调增加；当(23,23)x ∈-+时()0,()f x f x '<在(23,23)-+单调减少；当(23,)x ∈++∞时()0,()f x f x '>在(23,)++∞单调增加； 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,23)-∞-和(23,)++∞，()f x 的单调递减区间是(23,23)-+（Ⅱ）22()3[()1]f x x a a '=-++，当210a -≥时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点； 当210a -<时，()0f x '=有两个根22121,1x a a x a a =--=+-.由题意知，22213,213a a a a <--<<+-<或.①式无解，②式的解为5543a <<.因此a 的取值范围是5543⎛⎫⎪⎝⎭，. （22）解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+.代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=. 设 1122B(,)(,)x y D x y 、，则22221212222244,aa ab x x x x b ab a++==--- , ①由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412ab a⨯=-即223b a =， ② 故222c a b a =+=.所以C 的离心率2c e a ==.（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=.2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==<故不妨设12,x a x a ≤-≥， 2222211111BF =(2)(2)332x a y x a x a a x -+=-+-=-， 2222222222FD =(2)(2)332x a y x a x a x a -+=-+-=-，22121212BF FD (2)(2)=42()548a x x a x x a x x a a a ⋅=---++-=++.又 BF FD 17⋅=，故 254817a a ++=， 解得1a =，或95a =-（舍去），故2121212BD =22()46x x x x x x -=⋅+-=，连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知M A 3=，从而M A =M B =M D ,且M A x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切.所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。