双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ<)的点的轨迹。

方程 22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±(0,)c ±渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 (1)ce e a => (1)ce e a=> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2a x c =±2a y c=±a 、b 、c 的关系 222c a b =+考点题型一 求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。

2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。

【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12,离心率为54; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。

_x_ O_y_x_ O_y解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。

由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54。

∴b=6,ｃ=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。

（2)∵双曲线经过点M(0,１2），∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。

又2c ＝26，∴c ＝13。

∴222144b c a =-=。

∴标准方程为22114425y x -=。

(３)设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,23A -在双曲线上 ∴(22331916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。

【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1,０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。

求双曲线的离心率ｅ的取值范围。

解:直线l 的方程为1x ya b-=，级bx ＋ay-ab=0。

由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离122d a b=+,同理得到点(－1,0）到直线l 的距离222d a b=+,122abs d d c=+==。

由s ≥45c ,得2ab c ≥45c ,即252c ≥。

于是得22e ≥,即42425250e e -+≤。

解不等式，得2554e ≤≤。

由于e ＞1>0，所以e的取值范围是2e ≤≤ 【例３】设F 1、F ２分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使1290F AF ∠=,且︱ＡＦ1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

解:∵1290F AF ∠= ∴222124AF AF c +=又︱AF 1︱=３︱AF 2︱，∴12222AF AF AF a -==即2AF a =, ∴222222212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，∴2c a ==即e =。

题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组,即2222220Ax By C b x a y a b++=⎧⎨-=⎩,对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长:2121l x x y y =-=- 【例4】如图,已知两定点12(F F ,满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线Ｅ,直线y=ｋx-1与曲线E 交于A、B 两点，如果AB =且曲线E 上存在点Ｃ，使OA OB mOC +=,求(1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程;（３)m 的值和△ＡB Ｃ的面积Ｓ。

解：由双曲线的定义可知,曲线E是以12(F F 为焦点的双曲线的左支,且c =a=1，易知1b ==。

故直线Ｅ的方程为221(0)x y x -=<, (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。

又已知直线与双曲线左支交于两点Ａ、B ，有22212212210,(2)8(1)0,20,120.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩解得1k <-。

又∵12AB x x =-===依题意得=，整理后得422855250k k -+=， ∴257k =或254k =。

但1k <<-，∴k =。

故直线ＡＢ的方程为102x y ++=。

（3)设(,)c c C x y ,由已知OA OB mOC +=，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=,∴1212(,)(,)(0)c c x x y y x y m m m++=≠。

又12221kx x k +==--212122222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，∴点8)C m。

将点C 的坐标代入曲线Ｅ的方程,的2280641m m-=， 得4m =±，但当4m =-时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。

∴4m =,C点的坐标为(2)，C 到A13=, ∴△ABC的面积1123S =⨯=一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。

（一） 知识归纳(二)典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2y mx =或2(0)x my m =≠。

【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。

（1)抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；(２）经过点Ａ(2，-3);（3)焦点在直线x －2y －4=０上;（4)抛物线焦点在ｘ轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱A Ｆ︱＝５．解：（１)双曲线方程可化为221916x y -=，左顶点是（-3,0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32p-=-, ∴ｐ=6.∴方程为212y x =-（2)解法一：经过点Ａ(2,-3）的抛物线可能有两种标准形式: y 2=２px 或ｘ２＝-2py .点A (２,-３）坐标代入，即９＝4p ，得2ｐ=29 点A （2，-3)坐标代入x 2＝-2p ｙ,即４=6p ，得2p ＝34 ∴所求抛物线的标准方程是y ２＝29x 或ｘ2=－34ｙ 解法二：由于A （２，-３）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，代入A 点坐标求得ｍ=29,n=-34, ∴所求抛物线的标准方程是ｙ２＝29x 或x 2＝-34ｙ(3）令x=0得y=-2,令ｙ＝0得x=4,∴直线x-２y-４=0与坐标轴的交点为(０，-2)，(4,0)。

∴焦点为（０，-２)，(4，０)。

∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。

（4)设所求焦点在ｘ轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3)，由抛物 线定义得p 52AF m ==+, 又2(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±,故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。

题型二 抛物线的几何性质方法思路:1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线ｌ的距离处理,例如若P(x 0，y 0)为抛物线22(0)y px p =>上一点,则02p PF x =+。

2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ,22(,)B x y ,则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。

【例６】设Ｐ是抛物线24y x =上的一个动点。

（1） 求点Ｐ到点A(-1，１)的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值; （2） 若B(3，2),求PB PF +的最小值。

解:(1）抛物线焦点为F(１,0），准线方程为1x =-。

∵P 点到准线1x =-的距离等于Ｐ点到F(１，０)的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P,使点Ｐ到Ａ(-1，1)的距离与P 到Ｆ(1，0）的距离之和最小。

显然P 是ＡF 的连线与抛物线的交点, 最小值为5AF =（2）同理PF 与Ｐ点到准线的距离相等，如图： 过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。

∵11PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。

∴PB PF +的最小值是4。

题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。

【例７】已知抛物线y=ｘ2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。

分析一:要求AB 中点纵坐标最小值,可求出y １+ｙ2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y ２是梯形ＡBCD 的两底,这样使得中点纵坐标ｙ成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。

解法一:设A(x 1,y １)，Ｂ(ｘ２,y 2），ＡＢ的中点为Ｍ(x,y)由抛物线方程ｙ=x 2知焦点1F(0,)4，准线方程14y =-,设点Ａ、Ｂ、M 到准线的距离分别为|A Ｄ1｜、|B Ｃ1｜、|M Ｎ|,则|AD 1|＋|BC 1|＝2|ＭN|,且1MN =2(y+)4,根据抛物线的定义，有|AD １｜=|ＡyxAOPFF ｜、|B Ｃ1｜=|B Ｆ|,∴12(y+)4＝|A Ｆ|＋｜BF|≥|A Ｂ|=2, ∴12(y+)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34。