抛物线方程及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形
参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.
开口方向 右
左
上
下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>
22(0)x py p =->
焦 点位 置 X 正
X 负
Y 正
Y 负
焦 点坐 标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准 线方 程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范 围 0,x y R ≥∈
0,x y R ≤∈
0,y x R ≥∈
0,y x R ≤∈
对 称轴 X 轴
X 轴
Y 轴
Y 轴
顶 点坐 标 （0,0）
离心率 1e =
通 径 2p
焦半径11(,)A x y 12
p AF x =+
12
p AF x =-+
12
p AF y =+
12
p AF y =-+
焦点弦长AB
12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++
焦点弦长AB 的补充
11(,)A x y
22(,)B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
若AB 的倾斜角为α，2
2sin p AB α
=
若AB 的倾斜角为α，则22cos p
AB α
=
2124
p x x = 2
12y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(
,0)2p F ，准线2
p
x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22
>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(
,0)2
p
F (1) 若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124p x x =，
212y y p =-。
(2) 若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α
=（α≠0）。
(3) 已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ,
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。
通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5、
焦半径公式
2
1
22
x P
BF x p AF +=+=
2
1-2-2x P
BF x p AF ==
αα
cos 1cos 1+=
-=
p BF p
AF
α
αcos -1cos 1p BF p AF =
+=
相同
P
BF AF 2
11=+
6 三角形OAB 的面积
θsin 22
P S OAB =
∆
θ
cos 22
P S OAB =
∆
7．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则
221212()()AB x x y y =-+-||1
1||1212
212y y k x x k -+=-+= 8.直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 9、过抛物线内一点作直线只与抛物线有一个交点
点在抛物线内 直线有1条 （1交） 点在抛物线上 直线有2条 （1交1切） 点在抛物线外 直线有3条 （1交2切）
10、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线
，)0( p
① 联立方程法：
⎩⎨⎧=+=px
y b
kx y 22
⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=
， 2
2
10y y y += ② 点差法：
设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
12
12px y = 22
22px y =
将两式相减，可得
)(2))((212121x x p y y y y -=+-
2
121212y y p
x x y y +=
--
a. 在涉及斜率问题时，2
12y y p
k AB +=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，
021*******y p
y p y y p x x y y ==+=--， 即0
y p k AB =
， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦
AB 的中点，则有p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，
且不等于零）。