八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望1The mathematical modeling and projection of China population after 1980物理学院技术物理系99级王彦摘要以LESLIE矩阵构建人口的动力学方程，建立了80年以来中国人口的数学模型,并用人口普查的数据验证了该模型的有效性及所含假设的合理性。

利用该模型可推算82年至98年的逐年的以岁为单位的年龄构成。

通过调整模型中有关参数及输入的条件，定量地分析了“夫妻双方均为独生子女可生两胎”这一政策将在未来15年内对我国人口的影响。

所建模型有很好的移植性，理论上来讲可推测很长一段时期内任一年的年龄结构，并可通过调整参量定量分析一部分人口政策及社会因素对人口发展的影响，可供有关研究及政策制定部门参考。

abstractBased on the LESLIE Matrix as the dynamic function, we built up the mathematical model of the china population development since the adoption of “Family Planning Policy”. A few assumptions are made and justified by the Census Data. With this model, we could accurately estimate the yearly age distribution pattern of china population from 80 to 98. By modifying the relevant parameters and input, we further alculate the population age distribution in 2015 with and without adoption of “a spouse can have two children if the two parties of the spouse are both the only child in their family”. This model could be used , through adapting its parameters , to calculate and project population development under some different social conditions社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。

而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时1“政基金”项目和国家自然科学基金委员会杰出青年基金项目资助（No 10025523）间点的人口总数及其构成。

于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。

同时我们知道，人口与政策密切相关，这一点对于自80年起实施“一对夫妇只生一个孩子”的中国更是如此。

为了定量分析政策对它的影响，也需要建立一个现实的，可靠的模型。

这两方面的原因促使作者从人口发展的动力学机制出发，建立一个含多方面参量包括政策参量的数学模型。

本文由五部分构成：第一部分介绍人口学中部分专业词汇的定义；第二部分模型的建立和检验。

第三.四部分为该模型的两个应用,针对缺乏相关参量的直接统计数据是两种不同的处理方法。

第五部分为总结和讨论。

0.数据定义这部分介绍本文中出现的人口学名词并加以简单分析。

年龄别生育率：某年的某年龄妇女生的孩子数与该年龄妇女总数之比。

总和生育率：某年各年龄组妇女生育率的合计数。

即总和生育率=各年龄组妇女生育率之和我们可以把年龄别生育率看作一个妇女在该年龄时平均生的孩子，于是各个不同年龄段的生育率分布可以看成一个妇女处在不同年龄段生育孩子数的分布。

我们把这一分布称为生育模式。

而总和生育率等于每个妇女一生中一共生育的孩子数。

出生率：某年的出生人数与该年总人数之比。

年龄别死亡率：某年的某年龄死亡的人数与该年龄总人数之比。

一．模型的建立（一）. LESLIE 矩阵首先，我们要找到描述人口变化的方程。

目前我国的移民现象很少见，我们可以认为中国人口是一个封闭的系统。

定义)(i A n 为第n 年i 岁的人数，)(i d n 为第n 年年龄为i 的人的死亡率，()i b n 为第n 年年龄为i 的妇女生的孩子数与该年龄妇女数的比例，即i 岁的妇女的生育率。

则当i ≥1时，)]1(1[)1()(1--*-=+i d i A i A n n n 。

我国人口男女比大约1.05，我们在这里忽略这种差别，近似为1，则)()(2/1)0(1i b i A A n n nn **=∑+。

用矩阵来表示上述关系，得到n n n n n n n n A i d d d i b b b A ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+...................0...)(1...00..................0...0...)1(100...0...0)0(1......2/)(...2/)1(2/)0(1 其中，[]T n n n n i A A A A ...)(...)1()0(=由于80岁以上的老人所占比重很小，且对于人口的增长已经没有影响（他们不可能再生育），在本文的模型中，常常只考虑80岁以下的人的情况。

其实，n A 的维度只要大于一定值就可以了，在问题处理过程中是可以变化的。

(二).参量的确定LESLIE 矩阵本身是普适的人口动力学方程，而不同历史，社会条件下的人口发展模式特点是由其中的参量来描述的，也就是)(i b n 和)(i d n 。

它们都是随时间变化的量，是诸多因素共同作用的结果。

我们不可能找到这些参量每年的精确数值，因此作一些假设和近似是必要的。

1.生育率i b n (）如第一部分数据分析中分析的那样,我们把某个时点的妇女的生育年龄分布同时看作一个妇女一生中生育孩子数的分布.于是某个时点的综合生育率等于一个妇女一生中生育的孩子数。

考察城市和人口的生育的年龄结构，我们发现两者有很大的不同。

图一98年中国城乡妇女生育率年龄分布从图中， 我们发现农村妇女的总和生育率明显高于城市妇女， 同时她们的生育高峰也比城市妇女早一些，且计划生育政策及其执行情况也有很大的不同，所以本文中将把这两种情况分开讨论。

即2/])()()()([)0()0()0(111∑∑+=+=+++iurban n urban n rural n i rural nurban n rural n n i A i b i A i b A A A 知道了)(i A n ，我们可以用城乡人口比来得到)(i A rural n和)(i A urban n 。

受到生理条件的限制，生育率关于年龄的相对分布应该是一个变化缓慢的量。

我们假定在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），它是恒定的。

于是如果知道某年的总和生育率，结合图一给出的98年的分布，便可得到当年的具体分布：i b n (）=)(*)(/)(9898i b i b i b in i ∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡如果我们把总和生育率)(i b in ∑表示为n B ,则i b n (）=n B B i b */)(9898而总和生育率n B 是比较容易获得的。

2.年龄别死亡率)(i d n年龄别死亡率分布数据很少，事实上，作者只找到了89年一例，于是只能先假定死亡率不变。

而通过后面的计算发现， 这个假设和我国80年至今的情况符合的很好。

即使在未来的很长一段时间内，只要没有医学上大的革命，这个量的变化将很小。

因此，本文中把它当成常量处理。

所用数据为89年的统计（中国统计局数据服务DUS2-42），如图所示图二：89年中国年龄别死亡率分布(三). 82年——90年的人口变化及假设的验证对于80年代的人口，我们掌握的材料比较充分，如逐年的城乡总和生育率，82年和89年的人口年龄结构，历年城乡人口比例等。

我们用82年的数值作为初始条件，用上述模型推算至90年的分布， 再和普查数据比较，以此检验我们的模型及相关假设。

结果如以下图所示。

图三：90年中国人口年龄分布比较两条曲线，发现它们吻合的相当不错，尤其是10岁以后的曲线，差别非常小。

由于这部分人口的发展只受死亡率的影响，说明我们把)(i d n 作为常量处理是合理的。

（这也说明我国二十年来医疗技术的进步还没有对人口产生大的影响）而10岁以前的曲线也基本吻合，最大误差在5%以内。

由此，关于生育率的年龄的相对分布的假设也是合理的。

至此，模型的有效性得到了证明。

二. 90—98年的人口发展和上一阶段不同，这一时期的人口统计数据不够充分，尤其是总和生育率的数据的缺乏，使这一阶段的处理方法和90年以前不同。

)(i A n 对1≥i 的情况仍可按刚才的方法处理，但对于)0(n A ，在没有总和生育率时，就不能得到)(i b n ，也就不能用LESLIE 矩阵法了。

作者用第n 年的出生率⨯人口总数=第n+1年的0岁的人数得到)0(1+n A 。

而人口总数和总出生率都是比较容易获得的数据。

用上述方法可以得到90-98年逐年的年龄构成，98年的分布见下图图四：98年中国人口年龄分布推算这种处理方法只能用来求过去的时点的年龄结构，而不能用与人口的预测，因为将来的时点的人口总数和出生率也是未知的。

而LESLIE矩阵则从人口发展的动力学机制出发，因而可以用来预测未来的情况。

第四部分就是一个例子。

三.2015年人口分布的预测这一部分主要采用本文第一部分阐述的方法分析“夫妇双方均为独生子女可生育两个孩子”这一政策将给我国人口造成的影响。

我国农村妇女的总和生育率在计划生育实行后一直维持在1.5以上，而在80年代初有2.0左右，也就是说，即使在2000年后，农村独生子女的比重很小，而夫妻均为独生子女的概率更小，于是可以认为该政策对农村的影响可以忽略,农村生育模式不变。

而城市的总和生育率自80年代起非常接近1，我们认为所有的80年以后的城市出生的都是独生子女，于是前述政策对城市的影响很大。

下面是定量分析。

考察98年我国农村分胎次的生育率年龄分布：图五：98年中国城乡妇女生育率农村每个妇女平均有0.457个二胎，而城市平均只有0.146个，但是它们的相对分布确实非常相近的。

事实上，从图中可以看出，把城市妇女的第二胎的生育年龄结构按比例（0.457/0.146）放大后和农村妇女的相应的分布形状基本相同。