的女性比, 则第t 年的出生人数为
i2
f(t) bi(t)ki(t)xi(t)
(2)
•
记
d00 (t)
ii1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到
人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人
口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00(t)
f
(t)x0(t) f(t)
x 0 (t) ( 1 d 0(t0 )f) (t) (3 )
x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) ( t ) B ( t ) x ( t ) ( 1 )4
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
• 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它.
•
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
di(t)xi(t)bi x(t ) ix(it1)(t1)
xi 1(t 1 )(1 d i(t)x )i(t),
i0 ,1 ,2 , m 1 ,t0 ,1 ,2 (1 )
•
• 记 bi (t ) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, k i (t ) 为第t 年 i 岁人口
• 1)人口总数N(t)
m
•
N(t)xi(t)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R(t)N 1 (t)i m 0iix(t)
(1)6
(1)7
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
•
死亡率用下列公式外推:
i(t) i(1i( 9 1 )1 [7 9 ( )t 1 8 79 ) 8 1 3 7 5 ] 0 ii8 5 5 ,i 0 50(1)8
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域.
(1)0
• 引入向量,矩阵记号
ii1
x(t)[x1(t),x2(t),,xm(t)]T
(11)
0
0 0 0 0
1d1(t) 0
A(t)
1d2(t)
(12)
0
0 1dm1(t) 0
0 B(t)0
0
bi1(t)
bi2(t)
0
0 0
(1)3
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i2
x 1 (t 1 ) ( 1 d 0(t 0 )1 ) d (0 (t))b i(t)k i(t)x i(t) i i1 将 bi(t)分解为
(4 )
bi(t)(t)hi(t) (5)
其中 hi(t)是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
时生育率的高低, 满足
•
生育模式取 分布的离散值:
h(r) 716(r81)84er 218,
r18 (1)9
0,
•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t)作为控
制变量.
•
在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女
性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
x ( t 1 ) A ( t) x ( t) B ( t)x ( 1 )5
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
•
即 (t) 是第 t
i 年
1
岁的每位妇女一生平均生 bi (t)
育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制
人口数量的主要参数. 生育模式hi (t )是 i 岁妇
女生育的加权因子, 若hi(t)hi(t) 表示 i 岁
妇女的生育率比i 岁妇女的生育率高。制订生 育政策就是确定(t)和hi(t) ,通过 (t)控制生育
我们可以建立人 但是这些模型只考虑人口总数和总
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量.
大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1
周岁)的人数, t 0 , 1 , 2 , ,i 0 , 1 , 2 , ,m .只考虑由
于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会
因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 于是
的多少, 通过hi (t )可以控制生育的早晚和疏密.
• 将(5)式代入(4)式,并记
b i ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 1 ) d 0 ( t ( ) h i ( t ) ) k i ( t ) ( 9 )
• 则(4)式写x1 作(t1)(t)i2 bi(t)xi(t)
i2
hi(t)1
(6)
ii1
利用 (6)式对 (5)式求和:得到
i2
(t)bi(t) (7) ii1
• 可知 (t)表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的
女性生育率 bi (t ) 都不变,那么 (t)又可表示为 ( t ) b i 1 ( t ) b i 1 1 ( t 1 ) b i 2 ( t i 2 i 1 )( 8 )