2 0
A x + =
(u0+nx) 0
w
2 d
xwd 0 tg = a u0 + nx 0
衰减振动的圆频率
wd = w -n
2 n
2
阻尼振动是振幅逐渐减小的衰减振动.
衰减振动的运动图线
x t o
M=450kg K=26519N/m C=400NS/m & ) . x( 0 = 0 539567,x(0 = 1 0 ) .
由 知
x0 =c cos = c 0 1 1 & x= -cwn sin nt+ cwncos nt w w 1 2 u = c2wn cos 0= cwn 0 2
即 解化为
u0 x t = x cos nt+ sin nt ( ) 0 w w wn
2 2 0 2 n
xt =A wnt+a) ( ) sin(
F
TACOMA窄桥是于1938年开工,到1940年7月1日 建成通车,是美国华盛顿州西部一座著名的大桥,连 接TACOMA到大港(GigHarbor)全长5939英尺,还 有一个外号"飞驰盖地(Galloping Gertie)".但是在 通车后仅仅4个多月,1940年11月7日,就在一阵每小 时42英里的"和风"吹拂下,坍塌了.
2 2 n
2p
w
n 2
1 -
n 2
w
2 n
w
n
w
)
-
1 2
n = T ( + 1 2w
2 n
) @ T
n n 混凝土 = 0 . 027 =0. 0003 024 . 钢结构 w n wn
振幅按几何级数衰减
- nt
振幅衰减率
Ai Ae nT d = -n(t+Td) = e A+1 Ae i x
■ 振动问题及其分类
按激励特性划分: 自由振动(freevibration) -没有外部激励,或者外部激励除 自由振动 去后,系统自身的振动. 受迫振动(forcedvibraton) -系统在作为时间函数的外部激 励下发生的振动,这种外部激励不受系统运动的影响. 自激振动(selfexcitedvibration) -系统由系统本身运动 自激振动 (self 所诱发和控制的激励下发生的振动. 参激振动(parametricvibration) -激励源为系统本身含随时 参激振动 间变化的参数,这种激励所引起的振动.
设特解
2
受迫振动的运动微分方程 2 nn
x t =bsin( t- e )代入,有 ( ) w
2 n
- b sin( t- e )+ 2 w cos( t- e )+ w b wt- e )= h wt w w nb w sin( sin
例157 均质杆AB(M,l),B端连接一 3 个小球(m),弹簧刚性系数均为k,图示静 平衡位置,求均质杆的运动微分方程及固有 频率. A k
l l l
O
k
B
解: A k
l
O
k
l
θ
l
B
k 2 k 2 1 & m & 2 2 U = (q + (q ) l ) l T = J q + ( l ) 2q O 2 2 2 1 2 &2 + 2ml 2q& 2 + kl2q 2 E = JO q 2 2 2 kl 2 k 2 w n = = 2 固有频率的平方 J + 4 ml M + 4 m
x 此中w
2 n
k c = , n = 2 m m
&+2 x+wn x= 0 & & x n
2
n阻尼系数
二阶齐次线性常系数微分方程 2 n 小阻尼情况 ná w n - - - - cá 2 - nt 其解为 d
&& +2 x+w x= 0 & x n
2
mk
xt = Ae sin( t+a) ( ) w
2 0
得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式
&& +w x= 0 x
2 0
wn =
k 称为固有频率. m
二阶齐次线性常系数微分方程
&&+ x= 0 x w
的解具有形式
2 n
x=c cos t+ c sin nt wn w 1 2
( ) 0 & ( ) 代入初始条件 t =0,x 0 = x ,x 0 = u 0
145 例:如 n = 0 . wn 振幅衰减率
e
nT d
o
=2. 4585
t
A+1 = 0. 406 A i i
阻尼使能量很快消耗了.
P395 例158 O k A O
kaq
θ
& q
caq&
a c
l
a 动量矩定理
2
2
&& =-ka a- ca &a ml q q q
2
&& + ca q& + ka q = 0 m q 2 2 临界阻尼系数: l l 2 2 2 l ca mka c = mk c=2 mk =2 2 2 l l a
dst
O x 静平衡坐标系
3: 当手指突然向下撤去 系统将简谐振动 运动初始条件
静平衡坐标系
d st
&( ) x0 =-dst,x0 = 0 ( )
重物的振动规律 2:令
' '
O x
x t =-d st cos2236 ( ) . t
&( x t)=d stw sin2236 = 0 . t ' ' 2236 =p , x t )= d st t = 0 .1405s . t ( 当t=0. 1405时:重物共下落2dst = 00392 . m
■ 振动问题及其分类
按系统特性或运动微分方程类型划分: 线性振动(linearvibration) -系统的运动微分方程为线性方程 线性振动 m&& + ky = 0 y 的振动. 的振动.
& m eqq& + keqq= F sin( t) w 0
非线性振动(nonlinearvibration) -系统的刚度呈非线性特性时, 线性振动 将得到非线性运动微分方程,这种系统的振动称为非线性振动. 按系统的自由度划分: 单自由度振动(vibrationof5ingledegreeoffreedomsystem) — 振动 一个自由度系统的振动. 多自由度振动(vibrationofmultidegreeoffreedomsystem)-两 offreedomsystem 个或两个以上自由度系统的振动. 连续系统振动-连续弹性体的振动.这种系统具有无穷多 个自由度.
衰减振动的运动图线
x
o t
M=450kg K=26519N/m C=1000NS/m & ) . x( 0 = 0 539567,x(0 = 1 0 ) .
在小阻尼情况,阻尼对衰减振动的影响 振动的周期略略增大 衰减振动的周期 2p 2p Td = = = 2 w d w n - n2
= 2p ( 1 n
O
&& + 2 2 = 0 运动微分方程 ( O + 4 J ml ) kl q q
2
式中
M l 2 2 JO = ( l) + M( ) = Ml2 3 12 2
§153 计算固有频率的方法
通过运动微分方程计算出系统的固有频率 设弹簧垂直悬挂,如P505,可通过静变 形 d S计算出系统的固有频率:
§155 单自由度线性系统的受迫振动
受迫振动——系统在外界激励下产生的振动. ——
激励形式——可以为力(直接作用力或惯性力),也可以为 —— 运动(位移,速度,加速度).外界激励一般为时间的函 数,可以是周期函数,也可以是非周期函数. 简谐激励是最简单的激励.一般的周期性激励可以通过傅 里叶级数展开成简谐激励的叠加.
k kg g wn = = = m mg ds
用能量法求系统的固有频率
Tmax = V max
§154 单自由度系统的阻尼振动 r 物体以低速在介质中运动 r c R = - c c 粘性阻尼系数 u k o 取静平衡位置O为原点,建立坐 物块运动微分方程 标系Ox,
& m&& = - kx - cx x & m& +kx+ c& = 0 x x
将固有频率,振幅,初相位代入 振动规律为
x t = A wnt+ a ) ( ) sin(
= 2 sin 70t cm
例154 重为Q的重物无初速的放在弹性简
支梁AB的中部,后与梁一起振动;已知在力 忽略梁 Q作用下,梁中部静挠度d s = 2 mm, 重.求重物的振动规律.
t =0时刻
d s = 2mm
G = 80 /m GN d 钢丝直径
2
■ 振动问题及其分类
振动是一种运动形态,是指物体在平衡位置附近 作往复运动.
振动问题的研究方法-与分析其他动力学问题相类似:
● 选择合适的坐标; ● 分析运动; ● 建立运动微分方程; ● 分析受力; ● 选择合适的动力学定理; ● 求解运动微分方程,利用
初始条件确定积分常数. 振动问题的研究方法-与分析其他动力学问题不同的是: 一般情形下,都选择平衡位置作为坐标的原点.
§151 概述 P379 A x C θ B θ K