微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。

可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。

例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。

曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。

常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的交点的直线系方程为：120l l λ+=即()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（其中λ为参数）② 与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（其中λ为参数） ③ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（其中λ为参数）④ 过相交两圆221111222222:0:0C x yD xE yF C x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩交点的圆系方程为： ()1201C C λλ+=≠-即()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=⑤ 若直线:0l Ax By C ++=与圆221:0C x y Dx Ey F ++++=有公共点，则过公共点的圆系方程为：0C l λ+=即()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a bλλ-=≠ 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，则椭圆的方程为（ ）A.221164x y += B. 22142x y += C. 2214y x += D. 2214x y += 思路：由已知可得2a =，所以只需利用条件1214k k =-求出的值即可，设()00,P x y ，()11,M x y ，则()11,N x y --。

则101121010,y y y y k k x x x x -+==-+，从而22101010122210101014y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由分子分母平方差的特点及,M P 在椭圆上联想到点差法，得：()()221122222101022200211140414x y b x x y y b x y b ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，所以222102210144y y b x x -=-=-- 即21b =，所以椭圆方程为2214x y += 答案：D例2：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B，且AB =（1）求椭圆C 的离心率（2）若斜率为的直线过点()0,2，且交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线的方程及椭圆C 的方程解：（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB=22254a b a =⇒+=2242a b a b ∴=⇒=::2:1:a b c ∴=c e a ∴==（2）由（1）可得椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=()()1122,,,P x y Q x y ，OP OQ ⊥ 12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=由已知可得，直线的方程为22y x =+联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-= 2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例3：已知直线:1l y kx =+，椭圆()222:109x y E m m+=>， （1）若无论为何值，直线与椭圆E 均有公共点，试求m 的取值范围及椭圆离心率关于m 的函数关系式（2）当k =E 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =，求椭圆E 的方程解：（1）由:1l y kx =+可知直线过定点()0,1l 与E 恒有公共点()0,1∴在椭圆上或椭圆内2201119m m∴+≤⇒≥ 293m m ≠⇒≠ m ∴的范围为[)()1,33,m ∈+∞若2913m m <⇒<<，则2229,a b m ==c ∴==c e a∴==若293m m >⇒>，则222,9a m b ==c ∴==3c e a∴==综上所述：3333m e m >⎪⎪=<<⎪⎩（2）由已知可得：13y x =+，()0,1M ∴ 设()()1122,,,A x y B x y()()1122,1,,1AM x y MB x y ∴=--=-2AM MB = ()12122121x x y y -=⎧∴⎨-=-⎩联立直线与椭圆方程可得：2221319y x x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y可得：22229193m x x m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，整理后可得： ()()22210910mx m +++-=()212122291,1010m x x x x m m -∴+==++ 122x x =-()12222212221091210x x x m m x x x m ⎧+=-=⎪+⎪∴⎨-⎪=-=⎪+⎩①②2∴÷①②可得：()()222222101720912109110m m m m m ⎛⎫⎪+⎝⎭-=⇒-=+-+ ()()2211080m m ∴-+=，即429900m m +-=，解得：26m =或215m =-（舍） ∴椭圆方程为22196x y += 例4：过点()4,0A -，向椭圆()222210x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为,B C ，且ABC为正三角形，则ab 最大时椭圆的方程为（ ）A. 224143x y +=B. 228183x y +=C. 223144x y +=D. 223188x y += 思路：由题意可知本题确定,a b 值的关键在于ab 达到最大值时，,a b 的取值，那么需要得到关于,a b 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若ABC 为正三角形，则,AB AC 的斜率为3±，进而能够得到,AB AC 的方程。

以AB为例：()43y x =+，与椭圆方程联立并消元可得到：()2222222381630a bxa x a ab +++-=，所以220316a b ∆=⇒+=，则考虑利用均值不等式得到03ab <≤等号成立条件为223a b =，再结合22316a b +=即可求出,a b 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：,6OAB π∠=3AB k ∴=AB ∴的方程为：)43y x =+ ，联立方程：)22222243y x b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y ：()222222143b x a x a b ++=，整理后可得： ()2222222381630ab x a x a a b +++-=AB 与椭圆相切()()()22222228431630a a b a a b ∴∆=-+-=()44422224646412192360a a a b a b a b ∴--+-=即42222412192360a b a b a b -+=22316a b ∴+=由均值不等式可得：223a b +≥=163ab ∴≤⇒≤（等号成立条件为：223a b =） ab ∴的最大值为3，此时2222228383163a a b b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩∴椭圆方程为：223188x y += 答案：D例5：已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF 是正三角形 （1）求椭圆C 的离心率（2）直线与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为求椭圆C 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由ABF 是正三角形可得：2a b =，因为222a b c =+∴解得：::2:1:a b c =c e a ∴== （2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=， 设与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若斜率不存在，可得弦长MN = 若斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx mk x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+l 与圆222x y b +=相切()2221d b m b k ∴==⇒=+， 代入到上式可得：()()()22222222222231312161641414k k k k MN b b k k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤=++（等号成立条件：22312k k k =+⇒=±） max 2MN b ∴=2b b ∴=⇒=a ∴= ∴椭圆方程为：221123x y +=例6：设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求E 的离心率（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程 解（1）由M 在线段AB 上和2BM MA =可得：2BM MA =()(),0,0,A a B b1221,3333OM OB OA a b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭a ∴=::2a b c ∴=c e a ∴=== （2）由（1）中::2a b c =，可设1yAB x b+=⇒+= 由()(),0,0,A a C b -可得：1,22N b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设N 的对称点'07,2N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 依题意可得：0172222271x b b +-++=⎪⎪⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪= 可解得：3b =a ∴= ∴椭圆方程为221459x y +=1322103OMbb k a a ∴===例7：已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的半焦距为，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c （1）求椭圆的离心率（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程 解：（1）过()(),0,0,c b 的直线的方程为：10x ybx cy bc c b+=⇒+-= 2212O l bc bc d c a b c --∴===+ 1122b b a a ∴=⇒=，由222a b c =+可得：22222324a c a c a ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭ 32c e a ∴== （2）由（1）可得：::2:1:3a b c =∴椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=由圆方程()()225212x y ++-=可得：()102,1,2M r -=设()()1122,,,A x y B x y121242210210x x x x AB AB r +⎧+=-=-⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩==⎩设():21AB y k x =++，联立方程：()2222144y k x x y b=++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224214x k x b +++=⎡⎤⎣⎦，整理后可得： ()()()22221481241240k xk k x k b +++++-=()()221212228124124,1414k k k b x x x x k k ++-∴+=-=++ ()281214142k k k k +∴-=-⇒=+ 21282x x b ∴=-12AB x ∴=-==AB = 22213b b ∴-=⇒=∴椭圆方程为：221123x y += 例8：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2b y x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <，若1122,,PF F F PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为__________ 解：1122,,PF F F PF 成等比数列221212124F F PF PF c PF PF ∴=⋅⇒=⋅由渐近线方程()2b y x b N *=∈可知：2a =，不妨设P 在右支上 1224PF PF a ∴-==()222121212=216PF PF PF PF PF PF ∴-+-⋅= 即22212816PF PF c +-=由中线定理可知：()22221222PF PF OF OP +=+()2221682c c OP∴+=+ 即()222228383203OP c a b b =+=++=+5OP <225203253b b ∴+<⇒< 由b N *∈可知21b = ∴双曲线方程为：2214x y -= 答案：2214x y -= 小炼有话说：中线定理：已知AD 为ABC 中底边BC 的中线，则有()22222AB AC AD BD+=+，证明如下：在ADB 中，由余弦定理可知： 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅ ①同理，在ADC 中，有： 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅ ② ADB ADC π∠+∠= 且由D 是BC 中点可知：BD CD =∴+①②可得：222222AB AC AD BD CD +=++，即()22222AB AC AD BD +=+例9：（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-（1）求双曲线E 的离心率（2）如图，O 为坐标原点，动直线分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为b y x a=± 22b b a a∴=⇒= 22225c a b a ∴=+=c e a∴== （2）若直线不与轴垂直，设()()1122:,,,,l y mx t A x y B x y =+ 联立方程：11122212t x x my t m y x t y m ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩ ，同理可得11122212t x x my t m y x t y m -⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩设直线与轴交于(),0C t1212OAB S OC y y ∴=⋅⋅-即22122841421212t t t t m m m +=⇒=--+ 由直线与渐近线的交点,A B 分别在第一、四象限可知：111222m m >⇒-<< 2140m ∴-> ()22414t m ∴=-由（1）可得双曲线方程为：222214x y a a-= 联立与双曲线方程：()()22222224184044x my t m y mty t a x y a=+⎧⇒-++-=⎨-=⎩ 因为与双曲线相切()()()2222816410mt t a m ∴∆=---= 整理可得：()()()222222441401440m a m a m a +--=⇒--= 所以24a = ∴ 双曲线方程为：221416x y -= ∴存在一个总与相切的双曲线E ，其方程为221416x y -= 例10：已知,A B 分别为曲线()222:10x C y a a+=>与轴的左，右两个交点，直线过点B 且与轴垂直，P 为上异于点B 的点，且P 在第一象限，连结AP 与曲线C 交于点M（1）若曲线C为圆，且3BP =，求弦AM 的长 （2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若,,O N P 三点共线，求曲线C 的方程 解：（1）若曲线C 为圆，则可知1a =22:1C x y ∴+= ()()1,0,1,0,1,3A B P ⎛∴- ⎝⎭()3113AP k ∴==-- AP ∴的方程：)1103y x x =+⇒-+=12O AP d -∴==AM ∴==（2）由已知可得：()(),0,,0A a B a -，设直线():AP y k x a =+()(),2y k x a P a ak x a=+⎧∴⇒⎨=⎩联立直线与椭圆方程可得：()()22222221x y x k x a a a y k x a ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩，整理后可得：()22232422120a k x a k x a k a +++-=可知该方程的两根为：,A M x a x =-，由韦达定理可得：422221A M a k a x x a k -=+ 32221M a a k x a k -∴=+ ()2221M M ak y k x a a k ∴=+=+ ，即3222222,11a a k ak M a k a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,,O N P 共线，且BP 为圆的直径OP BM ∴⊥0OP BM ∴⋅=()32222222,2,,11a k ak OP a ak BM a k a k ⎛⎫-== ⎪++⎝⎭ 322222222011a k ak OP BM a ak a k a k -∴⋅=⋅+⋅=++ 4222222401a k a k a k-+∴=+，即4222240a k a k -+=解得：a =∴ 曲线C 的方程：2212x y +=。