2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章 数列高考题三、解答题22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) （II ）由（I ）知122n n n a n -=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型， 易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。
具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。
也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
23.（2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<<， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又∵121n n n nn n a a a a a a a a -<<<<， ∴211211,,,n n n n n n n n a aa aa a a a a a a --====， 从而121121n n n nn n n n a aa a a a a a a a a a --=+++=++++，∴1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232a aa a a ==，∴534224321a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列. 24.（2009江苏卷）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
满分14分。
（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,(2)（方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---,设23m t -=，则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项，故m+28 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有2m =。
25（2009江苏卷）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有11n P n>-. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。
满分10分。
26.（2009山东卷理)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+成立 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则1212n n b n b n ++=,所以121211135721 (246)2n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (1246)2n n b b b n n b b b n++++=⋅⋅>+成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (1246)2k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246)222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2）证明：1352112sin 1n n n n nx xx x x x x y --⋅⋅⋅⋅<<+. 解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2222=+--=∆n n n k k n k ，∴12+=n n k n （12+-n n 舍去）22222)1(1+=+=n n k k x n n n，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n nx x nn 12112125331212432112531+=+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n ∴nnn x x x x x x +-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531由于nn n nx x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得22cos =x ，给定区间)4,0(π，则有0)('<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在)4,0(π恒成立，又4311210π<≤+<n ，则有121sin 2121+<+n n ，即nn n n y x x x sin 211<+-.28（2009安徽卷理）首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。