第四章根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=sssKsHsG试证明点311js+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。

解若点1s在根轨迹上，则点1s应满足相角条件π)12()()(+±=∠ksHsG，如图解4-1所示。

对于31js+-=，由相角条件=∠)()(11sHsG=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0jjjππππ-=---632满足相角条件，因此311js+-=在根轨迹上。

将1s代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=jjjKsHsG）（解出：12*=K，238*==KK4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）解根轨如图解4-2所示：4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

⑴)15.0)(12.0()(++=sssKsG⑵)3)(2()5()(*+++=ssssKsG⑶)12()1()(++=sssKsG（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）题4-22图开环零、极点分布图图解4-2 根轨迹图解 ⑴ )2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：01=p ,22-=p ,53-=p ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-,[]0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(23=+++=k s s s s D令 ⎩⎨⎧=+-==+-=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω与虚轴的交点（0，j 10±）。

根轨迹如图解4-3(a)所示。

⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d。

根轨迹如图解4-3(b)所示。

⑶ )21(2)1()12()1()(++=++=s s s K s s s K s G 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：115.011+=++d d d 解之得：707.1,293.0-=-=d d 。

根轨迹如图解4-3(c)所示。

4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=解 ⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G -++++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： (]2,-∞-② 分离点：21211211+=-++++d j d j d解之得：23.4-=d③ 起始角：43.15390435.631801=-+=p θ由对称性得另一起始角为43.153-。

根轨迹如图解4-4(a)所示。

⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G -++++=系统有三个开环极点和一个开环零点。

根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[]0,20-② 起始角：︒=--+=01359045180θ 根轨迹如图解4-4(b)所示。

4-５ 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴ )208()()(2++=*s s s K s H s G⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s K s H s G⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G ⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G 解 ⑴ )208()()(2++=*s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--++-+=πππϕσ,33)12(383)24()24(0k j j a a ③分离点：02412411=-+++++j d j d d 解之得：33.3,2-=-=d d 。

④与虚轴交点：*+++=Ks s s s D 208)(23把ωj s =代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=-==-=*020))(Im(08))(Re(32ωωωωωj D K j D解得： ⎩⎨⎧==*K ω ⎪⎩⎪⎨⎧=±=*16052K ω⑤起始角：由相角条件 632-=p θ， 633=p θ。

根轨迹如图解4-5(a)所示。

⑵ )5)(2)(1()()(+++=*s s s s K s H s G① 实轴上的根轨迹：[],2,5-- []0,1-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=-+-+-+=43,44)12(24)1()2()5(0πππϕσk a a③ 分离点：05121111=++++++d d d d 解之得：54.1,399.0,06.4321-=-=-=d d d (舍去)；④ 与虚轴交点：*++++=K s s s s s D 10178)(234令ωj s =，带入特征方程，令实部，虚部分别为零⎩⎨⎧=-+==+-=**05)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*0K ω ⎩⎨⎧=±=*7.1912.1K ω根轨迹如图解4-5(b)所示。

⑶ )22)(3()2()()(2++++=*s s s s s K s H s G系统有四个开环极点、一个开环零点。

根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [],3,-∞- []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+-=πππϕσ,33)12(13)2()11()11(3k j j a a ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为)2()22)(3()(2+++++=*s K s s s s s D把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-=**5)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*00K ω ⎩⎨⎧=±=*03.761.1K ω④ 起始角︒-=︒-︒-︒-︒+︒=57.2557.2513590451803p θ根轨迹如图解4-5(c)所示。

⑷ )164)(1()1()()(2++-+=*s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[],1,-∞- []1,0② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+=πππϕσ,33)12(323)1()32()32(1k j j a a③ 分离点：1132213221111+=+++-++-+d j d j d d d 解得：16.276.0,49.0,26.24321j d d d ±-==-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)1()164)(1()(2=++++-=*s K s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=--==+-=**3)16())(Im(012))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*0K ω ⎩⎨⎧=±=*7.2138.1K ω ⎩⎨⎧=±=*3.3766.2K ω⑤ 起始角：79..5489..130120901..1061803-=---+=p θ由对称性得，另一起始角为79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。

4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。

（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去） ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。

4-７ 已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）（ 试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-图解4-6 根轨迹图② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+---=πππϕσ,33)12(323)2(5252k j j a a ③ 分离点：21522522+=-++++d j d j d解之得：29.3-=d 71.0=d (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为02)94()(22=++++=*）（s K s s s D把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++-=**8)72())(Im(028134))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得：⎩⎨⎧=±=*9621K ω ⑤ 起始角： πθ）（）（129022901+=⨯--k p解出135,4521-==p p θθ 根轨迹如图解4-7所示。