第2课时 诱导公式五、六
【课标要求】 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2．掌握五组诱导公式并灵活运用． 【核心扫描】
1．诱导公式五、六的推导．(重点)
2．灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明．(难点) 3．公式记忆．(易混点)
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新知导学 1．诱导公式五、六
· tan2α
cos α· －sin α 2 ＝ sin α· tan α cos α ·
2 sin α 9 2 ＝－tan α＝－cos2α＝－16.
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易错辨析 对角的终边位置考虑不全面而出错
【示例】 若|cos α|＝sin
[错解] 由|cos α|＝sin
3π －α，请指出角 2
【活学活用 2】 求证： tan9π＋θ＋1 ＝ . tanπ＋θ－1
证明 左边＝
3π π 2sinθ－ 2 cosθ＋2－1
1－2sin2π＋θ
3π －2sin 2 －θ· －sin
θ－1
1－2sin2θ θ－1
＝
π 2sinπ＋2－θsin
1 α，∴sin α＝－5，
又 α 是第三象限的角， ∴cos α＝－ 2 6 ∴f(α)＝ 5 .
31π 31π 5π (3)f－ 3 ＝－cos － 3 ＝－cos－6×2π＋ 3 ＝－cos 1 2 6 2 1－－5 ＝－ 5 ，
α 的终边的位置．
3π －α得， |cos 2
α|＝－cos α， 所以 cos α≤0.
故角 α 的终边在第二或第三象限．
[错因分析] 由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin
3π －α得， |cos 2
α|＝－cos α， 所以 cos α≤0.
[规律方法] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活 应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一 边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一
个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进
行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
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3 3.
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类型二 利用诱导公式证明恒等式 tan 【例 2】 求证：
3π 2π－αcos 2 －αcos 6π－α ＝－tan 3π 3π sin α＋ 2 cos α＋ 2
α.
[思路探索 ] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行 化简推出右边． 证明 tan －α· －sin α· cos －α 左边＝ π π sin 2π－2－α· cos2π－2－α
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3 3 sin－α－2πcos2π－α 2 ∴ · tan (π－α) π π cos2－αsin2＋α π π sin2－α· cos2＋α
＝
sin α· cos α
π ＋α＝－sin 2 1 1－22＝－
α＝－ 1－cos2α 3 2.
5π 2π π π ＋α· －α＝ cos π－ －α· π－ ＋α＝－ sin sin 6 3 6 3
cos
5π 2π ＋α· －α的值． sin 6 3
[思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题．
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1 解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－2， 1 ∴cos α＝2，又 α 为第一象限角． 则 cos ＝－ (2)cos cos
【活学活用 1】 已知 sin
π ＋α＝ 6
π 3 －α的值． 3 ，求 cos 3
π π π π π π 解 ∵6＋α＋3－α＝2，∴3－α＝2－6＋α.
∴cos ＝sin
π π π －α＝cos － ＋α 3 2 6 π ＋α＝ 6
答案 D
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3．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋„＋sin289°＝________.
解析 原式＝ sin21° ＋ sin22° ＋ „ ＋ sin244° ＋ sin245° ＋ cos244°
＋„＋cos21° ＝(sin21° ＋cos21° )＋(sin22° ＋cos22° )＋„＋sin245°
5π cos 2 ＋x ∵ 5π sinx－ 2 tan6π－x
－tan α· －sin α· cos α ＝ π π sin －2－αcos －2－α
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＝ －sin
sin2α
π π －αcos －α 2 2
sin2α ＝ －cos α· sin α sin α ＝－cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．
.
3π 1 α－ ＝ ，求 2 5
f(α)的值；
[思路探索] 本题充分利用诱导公式进行化简求值．
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解
－sin α· cos α· －cos α (1)f(α)＝ ＝－cos α. －cos αsin α
3π α－ ＝－sin 2
(2)∵cos
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类型三
诱导公式的综合应用
3π 2π－αsin－α＋ 2
sin α－3πcos 【例 3】 已知 f(α)＝ cos －π－αsin －π－α (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限的角，且 cos 31π (3)若 α＝－ 3 ，求 f(α)的值．
5π 3＝
π 1 －cos 3＝－2.
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[规律方法] 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三
角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
【活学活用 3】 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三
故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
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[防范措施] 角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为
象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了象 限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
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课堂达标 1．下列各式中，不正确的是( A．sin(180° －α)＝sin α C．cos(90° ＋α)＝sin α )．
α，∴
π 1 tan 2＋α ＝－tan α. 新知探究来自题型探究感悟提升
类型一 利用诱导公式求值
π 1 【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－2， α 为第一象限角， 求 cos2＋α
的值． (2)已知 cos
π 1 －α＝ ，求 6 3
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互动探究 探究点 1 你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
提示 诱导公式六的推导：
π π ∵2＋α＝2－(－α)，由诱导公式五得： sin cos
π π ＋α＝sin －－α＝cos 2 2 π π ＋α＝cos －－α＝sin 2 2 π ＋α＝cos 2
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2. sin α tan α 2 原式＝ ＝ ＝ ＝2. sin α－cos α tan α－1 2－1
＝______.
答案 2
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5π cos 2 ＋x 5．求证： 5π ＝－1. sinx－ 2 tan6π－x
1－2sin2θ
π －2sin2－θsin
＝
θ－1 －2cos θsin θ－1 ＝ 2 1－2sin2θ cos θ＋sin2θ－2sin2θ
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sin θ＋cos θ2 sin θ＋cos θ ＝ ＝ . sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ tan9π＋θ＋1 tan θ＋1 sin θ＋cos θ 右边＝ ＝ ＝ . tanπ＋θ－1 tan θ－1 sin θ－cos θ ∴左边＝右边，故原式成立．
B．cos(180° ＋α)＝－cos α D．tan(－α)＝－tan α
解析
根据诱导公式，知sin(180°－α)＝sin α，cos(180°＋α)＝
－cos α，cos(90°＋α)＝－sin α，tan(－α)＝－tan α，所以C项错 误．故选C. 答案 C
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2．已知
π 这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如3－α 与 π π π π π π 2π π 6＋α，3＋α 与6－α，4－α 与4＋α 等互余，3＋θ 与 3 －θ，4＋ 3π θ 与 4 －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善 于利用角的变换来解决问题．
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3 3 sin－α－2πcos2π－α 2 象限角，求 · tan (π－α)的值． π π cos2－αsin2＋α
解
3 方程 5x －7x－6＝0 的两根为 x1＝－5，x2＝2，
2
3 4 由 α 是第三象限角，得 sin α＝－5，则 cos α＝－5，
π π －α· ＋α sin 6 3