求指数、对数函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ；
3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x
分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．
解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．
.
111 2)1(2111 )
2(21122221
2221
+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x
x x x
x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11
1ln 222'++='+='x x x y .
1211
2111)1()1(21
11222221
22+=⋅+⋅+='
+⋅+⋅+=-x x
x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 2
2+=+=x x y ，
[].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x
x x x x x y
2．解法一：设132,log 2
2++==x x u u y ，则
)34(log 1
2+⋅⋅='⋅'='x e u u y y x u x
.132log )34()34(132log 2222++⋅
+=+++⋅=x x e
x x x x e
解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e
x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e
x x x x e
3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则
)sin()cos( cos b ax u x v u x e
b ax a a
v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e e
y b ax b ax )
sin()sin()cos()()cos(b ax b ax e b ax a b ax b ax e ++⋅+='
+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x
)].12sin(2)12cos(ln 3[)
12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='
++-++'⋅⋅='
+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x
说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．
解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．
变形函数解析式求导
例 求下列函数的导数：
（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x
x y +-=11ln ； （3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．
分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．
解：（1）.1
2122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 2
22222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(2
1x x y +--=， .1
1)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =
])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+
=x x x x x （4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].
3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').
,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．
说明：求)
()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)
()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．
对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数1
2)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．
函数求导法则的综合运用
例 求下列函数的导数：
1．21x x y +=；2．x e x x y 22)32(⋅+-=；
3．3223+-=x x y ；4．.13x
x y -=
分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．
解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 2
1ln ln 2++
=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )
1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.1
12)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得
.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-= ∴3
2)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(3
2)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222x e x x ⋅+-=
3．两端取对数，得
32ln 23ln ln +--=x x y ，
两端对x 求导，得
.)
32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得
)1ln (ln 3
1ln x x y --=， 两边对x 求导，得
.)
1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅ ∴.1)1(31)1(1313x
x x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题
的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避
ln是关于x 繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y
的复合函数．
指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。