稳恒电流的磁场
1、边长为 a 的正方形线圈载有电流 I ，试求在正方形中心点的磁感应强度B ？
分析：正方形四边产生的磁感应强度大小相等，方向相同，与电流方向符合右手螺旋定则。

每一边产生的磁感应强度为
)cos (cos 2
4210θθπμ-a I
其中4
1π
θ=
，πθ4
3
2=。

解：由分析得
a I a I
B πμππ
πμ428)43
cos 4(cos 2
4400=-=
2、如图所示的无限长载流导线，通以电流 I ，求图中圆心O
分析：根据磁感应强度的叠加原理，本题可以看作无限长直导线在O 点的磁感应强度B 1减去弦直导线在O 点的磁感应强度B 2再加上弧形导线在O 点的磁感应强度B 3。

解：由分析得 B = B 1 - B 2 + B 3
=
r
I
r I
r I
231)65cos 6(cos
2
42
2000μππ
πμπμ+
--
r
I
021
.0μ=
3、如图所示，两条无限长载流直导线垂直而不相交，其间最近距离为d=2.0cm ，电流分别为I 1=4.0A ，I 2 =6.0A ，一点P 到两导线距离都是 d ，求点P 的磁感应强度的大小？
分析：电流I 1在P 点产生的磁感应强度B 1大小为d
I πμ21
0，方向垂直纸面向里，电流I 2在P 点产生的磁感应强度B 2大小为
d
I πμ22
0，方向向右。

两矢量求和即可。

解：T d I B 57101100.402.020
.41042--⨯=⨯⨯⨯==πππμ T d I B 57202100.602
.020
.61042--⨯=⨯⨯⨯==
πππμ T B B B 52
2211021.7-⨯=+=
4、一边长为 b=0.15m 的立方体如图放置，有一均匀磁场 B =(6i +3j +1.5k )T 通过立方体所在区域，试计算：（1）通过立方体上阴影面积的磁通量？（2）通过立方体六面的总磁通量？
分析：磁感应线是闭合曲线，故通过任一闭合曲面的磁通量为零。

对于闭合曲面，通常规定外表面的法线方向为正，所以阴影面的正法线方向沿x 轴正向。

解：（1）Wb i k j i
S B 135.0ˆ)15.0()ˆ5.1ˆ3ˆ6(2=⋅++=⋅=
φ （2）0=⋅=⎰⎰S B s
φ
5、一密绕的圆形线圈，直径为0.4m ，线圈中通有电流2.5A 时，在线圈中心处的B=1.26×10 -4T ，问线圈有多少匝？
o
题2图
分析：N 匝密绕圆形线圈在圆心处的磁感应强度为单匝密绕圆形线圈在圆心处的磁感应强度的N 倍。

解：由R
I N B 20μ=
得1620==I RB
N μ匝。

6、有一根很长的同轴电缆，由一圆柱形导体和一同轴圆筒状导体组成，圆柱的半径为 R 1，圆筒的内外半径分别为 R 2 和 R 3 ，在这两导体中，载有大小相等而方向相反的电流I ，电流均匀分布在扣导体的截面上。

求：（1）圆柱导体内的各点（r< R 1)的磁感应强度B 的大小；（2）两导体之间（ R 1<r<R 2 ）的B 的大小；（3）外圆筒导体内(R 2 <r< R 3)的B 的大小；（4）电缆外(r> R 3)各点的B 的大小？
分析：无限长圆柱和圆筒导体的磁感应强度分布均具有轴对称性，各部分B 可分别由安培环路定理求得。

解：以轴线上一点为圆心，过场点做圆形环路L 。

（1）r< R 1时，101I l d B L μ=⋅⎰ 即 22102r R I r B ππμπ=⋅ 得 21
02R Ir
B πμ=
（2）R 1<r< R 2时， I r B l d B L 022μπ=⋅=⋅⎰ 得 r
I
B πμ20=
（3）R 2<r< R 3时，])()[222232220303
R R R r I I I r B l d B L ---==⋅=⋅⎰ππμμπ（ 得 )1(222
232
2
20R R R r r I B ---=πμ 以上各区域B 方向均与芯线内电流方向成右旋关系。

（4）r> R 3 时， 004
=-=⋅⎰）
（I I l d B L μ
得 B = 0 7、一载有电流 I 的无限长空心直圆筒，半径为R （筒壁厚度忽略），电流沿筒的直线方向流动，并且均匀分布，试求筒内外的磁场分布？
分析：无限长圆筒导体磁感应强度分布具有轴对称性，可由安培环路定理求得。

解：以轴线上一点为圆心，过场点做圆形环路L 。

当r< R 时，00
1
==⋅∑⎰
I l d B L μ
得 B = 0
当r> R 时，I r B l d B L 022μπ=⋅=⋅⎰ 得 r
I B πμ20=
8、矩形截面的螺线管，其尺寸大小如图所示，已知线圈匝数为N 。

（1）求环内磁场分布。

（2）证明通过螺绕环的磁通量为：2
1
0ln 2D D NIh πμφ=
分析：（1）取螺线管内与其同心的圆形环路L ，符合环路定理的条件，可求。

（2）在半径为r 处的螺线管截面上取长为h ，宽为dr 的长方形面元，其磁通量为φd ，则⎰
=φφd
解：（1）NI r B l d B L
02μπ=⋅=⋅⎰
得 r
NI
B πμ20= （
2
）
⎰⎰⎰⎰====22
001
2
22D D r
dr NIh hdr r NI Bds d πμπμφφ21
0ln 2D D NIh πμ=
题8图
得证。

9、一电子以1.0×10 6 m/s 的速度进入一均匀磁场，其速度方向与磁场垂直，已知电子在磁场中作半径为0.1m 的圆周运动，求磁感应强度大小和电子的旋转角速度？
分析：本题可直接由电子受洛伦兹力在磁场中运动的公式求得。

解：（1）电子的运动速度方向与磁场垂直时，所受洛仑兹力最大并且电子作圆周运动。

由
f = R mv evB 2
=，得磁感应强度的大小为
T eR
mv
B 51069.5-⨯==
（2）由eB
m
v R T ππ22=
=，可得电子作圆周运动的角速度为 17100.12-⋅⨯===s rad m
eB
T πω
10、如图所示，载流导线段AO=0.75m ，OB=1.5m ，其中通有电流 I=0.5A ，已知导线段所在区域的均匀磁场为B =0.4 i T ，求载流导线段所受的安培力？
分析：AO 和OB 两段导线处在沿x 轴正方向的均匀磁场中， 整段导线所受安培力为各段受力之矢量和。

解：AO 段受力：N B AO I F AO 106.045sin =⋅⋅⋅=
方向垂直于纸面向外。

OB 段受力：N B OB I F OB 15.030sin =⋅⋅⋅= 方向垂直于纸面向里。

载流导线所受合力的大小为 N F F F OA OB 044.0=-= 方向垂直于纸面向里。

11、如图所示的导线，载有电流 I ，各段几何形状尺寸和电流方向如图示，设均匀磁场磁感应强度B 的方向垂直纸面向外，试求导线所受的安培力？
分析：导线所受的安培力为三段受安培力之和，从左至右分别设为F 1、F 2和F 3 。

其中F 1和F 3 大小均为BIL ，方向均向下。

而对半圆段导线，在线上取一小电流元Idl ，其安培力df 方向指向圆心O ，因为该段导线是y 轴对称的，所以在水平方向上合力为零，我们只需计算竖直方向上的合力即可。

解：由分析得，F = F 1+F 2+F 3 。

其中 F 1 = F 3 = BIb
B I R B I R d B I d l df F 2cos cos
cos 2
2
2===
=⎰⎰⎰
-ππ
θθθθ 所以 F = F 1+F 2+F 3 =2BIb+2BIR 方向向下。

12、彼此相距10cm 的三根平行的长直导线中各通有10A 同方向的电流，试求各导线上每1cm 上作用和的大小和方向？
x
题10 图
题11图
分析：据题意，三根相同直导线成等边三角形分布。

各电流都处在其它两电流的合磁场中，合磁感应强度大小相同，方向不同。

因此，每根电流所受合力也大小相同，方向不同。

若分别求出每对电流间的相互作用力，然后由叠加原理求出合力，结果相同。

解：设三根电流彼此相距为a ，已知I 1 = I 2 = I 3 = I 。

考虑I 1受力：取电流元I 1dl 1 ，另两电流在此处的合磁感应强度大小为
a
I a I B πμπ
πμ236c o s 22
00=
= 方向垂直于I 1 ，平行于I 2、I 3 的连线向左。

电流元I 1dl 1 所受的安培力的大小为
12
011123dl a
I B dl I dF πμ==
代入数据，并令dl 1=1cm ，可得I 1上每1cm 所受合力的大小为 N dF 6
110
46.3-⨯=
方向指向等边三角形的中心。

同理可得其它两根导线所受作用力，大小与电流I 1相同，方向均指向三角形中心。