第8章 稳恒磁场 习题及答案6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。

若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。

解：O 点磁场由AB 、C B、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。

AB 在O 点产生的磁感应强度为01=BC B在O 点产生的磁感应强度大小为θπμR I B 402=RIR I 123400μππμ=⨯=，方向垂直纸面向里CD 在O 点产生的磁感应强度大小为)cos (cos 421003θθπμ-=r IB)180cos 150(cos 60cos 400︒︒-=R Iπμ)231(20-=R I πμ，方向垂直纸面向里 故 )6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。

已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。

解：圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。

且θπθ-==21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为）（θππμ-=24101RI B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为θπμRIB 4202=，方向垂直纸面向里 所以， 1)2(2121=-=θθπI I B B 环中心O 的磁感应强度为0210=+=B B B8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。

以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。

在载流平板上取dx aIdI =，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为x dI dB πμ20=dx axIπμ20=，方向垂直纸面向里 P 点的磁感应强度大小为⎰⎰+==a b b x dx a I dB B πμ20ba b a I +=ln 20πμ方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A ,B ,分别带有电量q +和q -，相距为d 。

它们都以角速度ω绕轴'OO 转动，轴'OO 与AB 连线相互垂直，其交点为C ，距A 点为3d。

求C 点的磁感应强度。

解：q +电荷运动形成电流大小为πω21q T q I == 1I 在C 点产生的磁感应强度大小为3/2210101d I R I B ⋅==μμdq πωμ430=方向沿O O →'方向同理，q -电荷运动形成电流的电流2I 在C 点产生的磁感应强度大小为3/22202d I B ⋅=μdq πωμ830=方向沿O O →'的反方向所以，C 点的磁感应强度大小为21B B B -=dq πωμ830=方向沿O O →'方向10. 已知磁感应强度大小0.2=B Wb ·m -2的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如图所示。

试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量。

解：(1)通过abcd 面积1S 的磁通量为24.0cos 4.03.00.211-=⨯⨯=⋅=ΦπS BWb (2)通过befc 面积2S 的磁通量为022=⋅=S BΦ(3)通过aefd 面积3S 的磁通量为θcos 5.03.0233⨯⨯⨯=⋅=ΦS B24.0545.03.02=⨯⨯⨯=Wb 11．如图所示，真空中一半径为r 的金属小圆环，在初始时刻与一半径为R （r R >>）的金属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I ，如果小圆环以匀角速度ω绕其直径转动，求任一时刻t 通过小圆环的磁通量m Φ。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为RIB 20μ=，方向垂直纸面向外任一时刻t 通过小圆环的磁通量为t r B S B m ωπcos 2⋅=⋅=Φ12. 如图所示，电流I I I ==21，求沿回路1L 、2L 以及3L 的磁感应强度的环流。

解：由安培环路定理得I I l d BL 0101μμ==⋅⎰I I l d B L 0202μμ-=-=⋅⎰0)(2103=-=⋅⎰I I l d B L μ13. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b ,c )构成，横截面如图所示。

使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。

求：(1)导体圆柱内(r ＜a )；(2)两导体之间(a ＜r ＜b )；（3）导体圆筒内(b ＜r ＜c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有iI r B l d B ⎰∑=⋅=⋅02μπ(1)当a r <时，22r aI I i ππ⋅=∑，所以 202aIrB πμ=(2)当b r a <<时，I I i =∑，所以rI B πμ20=(3)当c r b <<时，)()(2222b r b c I I I i -⋅--=∑ππ，所以 )(2)(22220b c r r c I B --=πμ (4)当c r >时，0=∑i I ，所以0=B14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为R 1和R 2，如图所示，它所载的电流1I 均匀分布在其横截面上。

导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流2I ，且在中部绕了一个半径为R 的圆圈。

设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d ，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感应强度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过O 点的圆周为回路，应用安培环路定理，有iI d R B l d B ⎰∑=+⋅=⋅01)(2μπ10I μ=所以，长直载流导体圆管在O 点产生的磁感强度大小为dR I B +π=112μ，方向垂直纸面向里电流2I 的长直导线在O 点产生的磁感强度大小为RIB 2022π=μ，方向垂直纸面向外dR O I 1 I 2I 2电流2I 的圆线圈在O 点产生的磁感强度大小为RI B 2203μ=，方向垂直纸面向外所以，O 点的磁感强度大小为])1([2120132dR I RI B B B B +-+π=-+=πμ 方向垂直纸面向外。

15. 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如图所示。

现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求：(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流2I 和2I -，应用补偿法求解。

电流2I 和2I -在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为R 、电流21I I I +=均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r 、电流2I -均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。

2I 和1I 的大小为=⋅-=2222)(r r R II ππ222r R Ir -21I I I +=222rR IR -= 1I 和2I 产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。

（1）电流1I 在O 点产生的01=B ，电流2I -在O 点产生的磁感应强度满足iI a B l d B ⎰∑=⋅=⋅022μπ20I μ=222020222r R Ir a a I B -==πμπμ圆柱轴线上的O 点B 的大小为)(22220210r R a Ir B B B -=+=πμ(2) 电流2I -在O '点产生的02='B ，电流1I 在O '点产生的磁感应强度满足 i I a B l d B ⎰∑=⋅'=⋅012μπ 2210a RI ππμ⋅= 221012R a I a B πμ=')(2220r R Ia -=πμ空心部分轴线上O '点磁感应强度的大小为)(2220210r R IaB B B -='+'='πμ 16. 通以电流I 的导线abcd 形状如图所示，l cd ab ==，⋂bc 弧是半径为R 的半圆周，置于磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里。

求此导线受到安培力的大小和方向。

解：应用安培定律求解。

y xl dF dθab 边受力大小为BIl F ab =，方向：向左cd 边受力大小为BIl F cd =，方向：向右对于bc 边，建立图示坐标系。

在bc 边上取电流元l Id，θBIRd BIdl dF == 根据对称性有0=x Fθθαd BIR dF dF y sin sin ==⎰⎰==πθθ0sin d BIR dF F y y BIR 2=此导线受到安培力的大小为BIR F 2=，方向沿y 轴正向。

17. 在长直导线AB 内通以电流1I ，在矩形线圈CDEF 中通有电流2I ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。

求：导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力及矩形线圈所受合力。

解：CD F方向垂直CD 向左，大小d I bI F CD πμ2102= 同理，FE F方向垂直FE 向右，大小)(2102a d I b I F FE +=πμCF F方向垂直CF 向上，大小为⎰++==a d d CF d a d I I r r I I F ln 2d 2210210πμπμED F方向垂直ED 向下，大小为CF ED F F =线圈所受合力ED CF FE CD F F F F F+++=方向向左，大小为)(2210a d d aI bI F F F FE CD +=-=πμ18. 有圆线圈直径8cm ，共12匝，通电流5A ，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T 的匀强磁场中。

试求：（1）作用在线圈上的最大磁力矩；（2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）解：(1)NI R NIS P m 2π==m N NIB R B P M m ⋅===18.090sin 20π(2) B P B P M m m 21sin ==θ，所以 6πθ=19. 一线圈由半径为R 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流I ，把它放在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如图所示)。