专题复习——求最短路径问题
最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．
类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题
如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？
【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小．
本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．
1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(22，－22)
C ．(－22，－22)
D ．(－12，－12
)
2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10
3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________．
4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据．
类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
(1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．
【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；
(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；
(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE 相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．
1．如下左图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( ) A. 3 B．2 3 C．2 6
D. 6
2．如上中图，在四边形ABCD 中，∠C ＝50°，∠B ＝∠D＝90°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( )A ．50° B ．60° C ．70° D．80°
3．如上右图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为________．
4．如下左图，∠AOB＝30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且OP ＝6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为________．
5．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如上中图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为____________．
6．如上右图，已知抛物线y ＝－1m
(x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．
(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标．
7．如下左图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3x
(k 为常数，且k≠0)的图象交于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
8．如上右图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一动点，
⊙O 的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴
上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y ＝45
x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；。