v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
角动量定理的微分形式
M M xi M y j M z k
质点系对x轴的角动量定理
dL x Mx dt
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
质点系的角动量守恒定律可以表示为三 个分量形式
dL x Mx dt
My dL y dt
dL z Mz dt
4 质点系的角动量守恒定律
如果 M 0，有 L =恒矢量
r
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
二、力对参考点的力矩 t 时刻力的大小方向和作用位置如图所示 M 力对参考点o 的力矩
大小： M r F sin
M r F
O
r
F

M F d 力矩等于力乘力臂 d 方向：垂直 r , F 组成的平面
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
一、质点对参考的点的角动量 质点m在某时刻的动量为
p mv
该时刻对参考点o的矢径为
L
z
r m
y
v
r
x
o
则此时刻质点m对固定点 o的角动量为
大小：L r P sin
L r P
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
dL 对 mi 使用角动量定理： M dt
dLi ri Fi ri f i dt
对上式求矢量和
dLi ri F i ri f i i dt i i
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
M x、M y、M z 分别为力对 x、y、z轴的力矩
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
i
j k
M r
M x yFZ ZFy M y ( xFZ ZFx )
M Z xFy yFx
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
四、 质点的角动量守恒定律 由角动量定理， 如果 M 0 则
有 L =恒矢量
dL 0 dt
讨论 1）角动量守恒定律的条件
M 0
2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律
动量不守恒 如行星运动 角动量守恒
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
3） 有心力：质点受力始终指向(或离开)一个 中心(力心)。 在有心力作用下，质点的角动量守恒。 如行星绕太阳运动，对太阳角动量守恒
讨论
m
1）角动量和力矩均与选择的参考点有关，角动量 也称动量矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2）在直角坐标系中
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz 分别是质点对x、y、z轴的角动量.
同理：
M M xi M y j M z k
M 是力对o点的力矩
dL M dt
2.5 质点角动量定理 角动量守恒 角动量定理积分形式

t2
t1
Mdt＝ dL L2 L1
t1
t2
t1
t2
M dt 称为冲量矩
质点角动量的增量
L2 L1
质点的角动量定理：在一段时间过程中， 质点所受的冲量矩，等于质点角动量的增量。 反映力矩在一段时间过程内的积累作用效果。
解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：
L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2
r1v1 v2 r2
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
五、质点系的角动量与角动量守恒 P 1.质点系对定点的角动量 2 第i个质点对o点的角动量
P1
Li ri P i