r1 p1 r2 p2
r1mv1 r2mv 2
v2 r1 v1 r2
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
Mm m G 2 0 r2
解得 考虑到
2 v2
b2 0 a
r1r2 a 0 b 2
r1 r2 2a ，最后求得
r2 a a b a c
t1
M 0dt L2 L1
M 0 dt 称为“冲量矩”
质点系角动量定理的积分式：

如果 M 0
t2
t1
Mdt L2 L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时 间内的角动量的增量 。 则
L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始 终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
mv 2 mv 2 向心力： = 2 r = f (cos i sin j ) r r /2 d mv2 I f dt (cos i sin j) dt r 0
I mv ( sin |
/2 0
M
o
r
F
F
a
M 0 rF sin a
力矩的方向： 由右手螺旋关系 确定，垂直于 r 和 F 确定的平面
M
r
2．力对轴的矩
力 F 对点的力矩 M 0 在过点的
任一轴线上的投影。
M0
A

MA
M A M O cos
1) 力在转动平面内
O
M r F
§2-1 牛顿定律 §2-2 动量守恒定律 §2-2-1 §2-2-2 §2-2-3 §2-2-4 §2-2-5 动量 动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心与质心运动定理
§2-3 角动量守恒定律 §2-4 能量守恒定律 §2-5 守恒定律和对称性
§2-2 动量守恒定律
2-2-1 动量
车辆超载容易 引发交通事故
1,开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道
运行。
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等. (3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比 3 于公转周期T的平方.即 T a 2
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相 等时间内扫过的椭圆面积相等 。


t to
Fi fi dt mi vi mi vio

其中：
fi 0
f12 f21 m2
系统总末动量： P mi vi
系统总初动量：
F2
P0 mi vio
F1
m1
合外力的冲量：

t
t0
Fi dt

2 2
这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦 点位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学 理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反 比律和运动定律两者的正确性.
若m1 m2
系统受合外力矩不为 零，角动量不守恒
可应用质点系角动量定理进行具体分析 讨论。
开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观 察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进 行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据， 总结出三条行星运动规律。
动量定理的微分式： 动量定理的积分式：
t p t d mv F v I F dt p p0 p mdt0
to
d(mv) dp F dt dt
F ma
po
to
例1：如图所示，质量 m、以速率 v 作匀速率圆周运动 的小球，求1/4周期内向心力对小球的冲量？ 法1：根据动量定理 mvi I p P P I mv(i j ) mv j 2 1 法2：根据冲量的定义
l
绳子对地面的压力为: N G 3 g (l y ) j 3G
2-2-3 动量守恒定律
质点系的动量定理：

t
t0
Fi dt P P0
有
当 Fi 0 时，
动量守恒定律：
P P0
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线 又忽略 轮绳摩擦 终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
同高从静态开始往上爬
两人质量相等
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
m1＝m 2
系统 的末 态角 动量
合外力矩为零，角动量守恒
系统的初 态角动量
m2v2 R m1v1R
得
不论体力强弱，两人等速上升
2
2
v2
设行星远日点和近日点的距离分别为 度为 v1、v2 .由机械能守恒，有
r、r2 ，对应的速 1
v1
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G mv 2 G 2 r1 2 r2
p
r2 r1
1 1 v v 2GM r r 2 1
2 2 2 1
v2
由角动量守恒，有
dL r F M dt
因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。
2-3-3 角动量定理 角动量守恒定律
dL M0 dt
质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：


t2 t1
t2
P mi vi 常矢量
条件： Fi 0
（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个 说明： 质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。 （2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）
动量守恒的分量式：
Px mi vix 常量
o'
α
l
v
o
Lo L o ' L oo'
mvl sina ,
mvl ,
mvl sina ,
m
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那 点或那个轴的角动量
问题的提出
地 球 上 的 单 摆 太 阳 系 中 的 行 星
变变
变
大小会变
大小未必会变，靠什么判断？
牛顿定律 角动量定理：
dL d r p d r d p pr dt dt dt dt dp dr 式中 F p v p 0, dt dt
动量分别为 p1 , p2 , , pn
r1 , r2 , , rn

O
LA
A
n n L Li (ri pi ) i 1 i 1
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 m，速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的
角动量
L
P
设：t时刻质点的位矢 r ,
运动质点相对于参 考原点O的角动量 定义为：
质点的动量mv
r
L r p r mv
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
LA L cos
质点系的角动量 设各质点对O点的位矢分别为
L
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。 动量（Momentum） ：运动质点的质量与 速度的乘积。
p mv
单位：kg· s-1 m·
由n个质点所构成的质点系的动量：
p pi mi vi
i 1 i 1
n
n
2-2-2 动量定理
F 对转轴 OA 的力矩同 F 对O点的力矩大小是相等的
M
O
A
r
d
F
2) 力不在转动平面内
M = r ×F = r × ( F 1+ F2 )
F1
F
M r F
= r × F 1+ r × F 2
转动 平面
r
F2
r × F11只能引起轴自身的 变形，而对转动无贡献。
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重
证
dS 1 dr 1 r r v dt 2 dt 2 dS 1 1 r mv L 有心力作用下角动量守恒 dt 2m 2m
dS 恒矢量 dt
1 dS r dr 2
dr
r
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零， 故角动量守恒，亦即
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积 ⑴ 恒力的冲量： 单位：N· s
I F (t2 t1 )
⑵ 变力的冲量：
t2 I F (t ) dt
t1
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
dp F dt 如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
力mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
L T 力矩 o'点 o点 拉力T 0 重力mg mgLsinθ × 合力F
θ o
FLcosθ ×
0
F
TLcosθ sinθ ⊙