5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
引入正则坐标，作如下的线性变换
q t uη t
(5.6-4)
式中(t)为系统的正则坐标。 因为u是一个常数矩阵,所以 q(t ) 和 η(t ) 之间存在着 同样的变换。把式(5.6-4)代入方程(5.6-1)，得
Muη t Kuη t F t
为了用振型分析去求解方程 (5.6-1)，首先必须求解 特征值问题，即 (5.6-2) Ku Muω2 式中 u为振型矩阵， 2 是固有频率平方的对角矩阵。振 型矩阵可以正则化，使其满足 T T 2 (5.6-3) u Mu I , u Ku ω
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得 T T (5.6-11) 0 u Mq0 , η0 u Mq0 由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为
式中 r 0和 r阶模态在正则坐标中的初始条件。 r为第 0
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
r t
1
t
(r 1,2,, n) (5.6-12)
任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即

r
N r sin r t d 0 (r 1,2,, n)
(5.6-13)
自由振动初始条件的响应 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导 ——振型分析
u
2
对振型向量进行正则化，而后把振型向量排列成振型矩 阵 1 0.459701 0.888074 u 0.627963 0.325057 m
利用振型矩阵作线性变换
T
1.000000 0.366025
F0 0.627963 N t u F t u t m 0.325057
T T
(5.6-5) (5.6-6)
方程(5.6-5)左乘以uT，有
T
u Muη t u Kuη t u F t
η t ω η t N t
(5.6-7) 式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力 向量，即正则激励。
考虑到方程(5.6-3)，得到2
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
例5.6-1 考虑图5.6-1所示系统，在系统上作用有激 励向量F(t)={0 F0u(t)}T，u(t)为单位阶跃函数。求在零初 始条件下系统的响应。 解：系统的运动微分方程
1 0 q1 2 1 q1 m k q q 0 2 1 2 2 2 0 F u t 0
广义坐标q(t)的响应是广义坐标(t)的响应的叠加，则有
q t uη t u r t
r r Biblioteka 1(5.6-15)因此，将正则坐标的全解 (5.6-14) 代入方程 (5.6-15) 就可 以得到无阻尼n自由度系统的全部响应。
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
q 0 q0 ,
1
q 0 q0
1
(5.6-9)
由式(5.6-4)的变换(t)=u-1q(t)，有
η 0 η0 u q0 ,
η 0 η0 u q0 (5.6-10)
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
Mq t Kq t F t
(5.6-1)
式中M和K为nn阶的质量矩阵和刚度矩阵，n维向量q(t)和 F(t) 分别表示广义坐标和广义力。
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
●方程 (5.6-1) 构成了 n 个联立的常系数的常微分方 程组。虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易 的事。 ●用振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基 本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组， 其变换矩阵就是振型矩阵。
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
因为2 是对角矩阵，故方程 (5.6-7)表示一组互不相 关的方程，即 2 r t r r t N r t (r 1,2,, n) (5.6-8) 方程 (5.6-8)具有与单自由度系统的运动微分方程相同的 结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理。 设广义坐标q(t)的初始条件为
为了用振型分析方法求解，首先 要解特征值问题，得
k 1 0.796226 , m 1.000000 u 1.366025
1
图 5.9-1
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
k 2 1.538188 , m
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第 5.4 节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个 n 自由度无 阻尼系统对初始条件的响应。 ●振型分析能够用来导出无阻尼系统对任意激励的 响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应。 不计阻尼时，n自由度系统的强迫振动微分方程为
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
所以第 r 阶模态的全解是由激励 Nr(t) 引起的响应和初始 条件引起的响应之和
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r


r
1
t 0
N r sin r t d
n
(5.6-14)