jt • 稳态速度响应： x j Xe
• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1）
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 F k m 2 jc
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
arctan


j ( t )
h( )d Fe



h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d

h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
实频特性
虚频特性
单自由度系统频响函数曲线（3）
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d




f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )


f (t )h( )d Fe
2 1 2
幅频特性
• 式中 称为频率比
相频特性
单自由度系统频响函数曲线（2）
• 频响函数表示成复数形式：
H () H R () jH I ()
• 其中
1 1 2 H ( ) k (1 ຫໍສະໝຸດ 2 )2 4 2 2R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d


单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt