重庆八中高2021级高三阶段性检测
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 与角2021︒终边相同的角是
A ．221︒
B ．2021-︒
C ．221-︒
D ．139︒
2. 已知i 为虚数单位，若
21m i
i
+-是纯虚数，则实数m 的值为 A ．
12
B ．2
C ．2-
D ．12
-
3. 我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求，音量大小的单位是分贝（dB ），
对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0
10lg I
I η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的
A ．76倍
B ．76
10倍
C ．10倍
D ．7ln 6
倍
4. 小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与
小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为 A ．6 B ．12 C ．18
D ．24
5. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识
到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀,2x R ∈，12x x ≠总有
1212()()()22
f x f x x x
f ++<，则下列选项正确的是
A ．()()(2)f f e f π<<
B ．(2)()()f f e f π'''<<
C ．(1)(2)(1)(2)f f f f ''<-<
D ．(2)(2)(1)(1)f f f f ''<-<
6. 函数())f x kx =的图象不可能是
7. 已知函数3()ln f x x m x =+在区间[2,3]上不是单调函数，则m 的取值范围是
A ．(,81)-∞-
B ．(24,)-+∞
C ．(81,24)--
D ．(81,)-+∞
8. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则
(2020)1f +=
A ．0
B ．2-
C ．1-
D ．1
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数有
A ．||
2
x y -= B ．23
y x = C ．21y x =-
D ．3y x =
10. 若501(12)x a a x -=+234234a x a x a x +++55a x +，则下列结论中正确的是
A ．01a =
B ．123452a a a a a ++++=
C ．50123453a a a a a a -+-+-=
D ．012345||||||1a a a a a a -+-+-=-
11. 若方程22
31
x y t t +
--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是 A ．若13t <<，则C 为椭圆 B ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<
C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <
D ．若C 是双曲线，则其离心率有1e <<
12. 已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则
A ．对任意的x 、y ，都有c d ≠
B ．存在x 、y ，使得a b =
C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个
D ．存在x 、y ，使得a b c d <<<
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上
13. 已知(,2)αππ∈，3
tan 4
α=-，则cos α= ．
14. 已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r = cm 时，面积最大.
15. 已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(1,0)-，当
||
||
PF PA 取最小值时，直线AP 的方程为 ． 16. 函数()f x 对于任意x R ∈，均满足()(2)f x f x =-，301
,()032,x x f x x x ≤≤⎧=⎨<+⎩
，若存在实数a ，b ，c ，d
（a b c d <<<）满足()()()()f a f b f c f d ===，则()(2)b a c d --+的取值范围是 ． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知tan 3α=，求值：
（1）
cos sin cos sin αα
αα
-+；
（2）232sin 2sin sin(
)2
π
ααα+-. 18. 已知函数()x f x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数.
（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间； （2）记函数()f x 在区间[0,1]上的最小值为()h a ，求()h a .
19. 如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=︒，
11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.
（1）求证：1AA BD ⊥；
（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值.
20. 某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，
政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐
回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：
（1）研究发现，3月至7月的各月均价y 与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求均价y 关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）用ˆi y
表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值，与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即ˆ||i i i y
y ξ=-，i =1，2，3，4，5.现从5个数据1ξ，2ξ，3ξ，4ξ，5ξ中任取2个，记取到的2个数据和为η，求η的分布列和数学期望()E η.注意几点：①可供选择的数据5
1
1984i i i x y ==∑，5
21
135i i x ==∑.
②参考公式：回归方程系数公式1
2
2
1
ˆi
n
i i
i n
i x y
nxy b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 21. 在直角坐标系内，点A ,B 的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的
斜率之积等于1
4-.设点P 的轨迹为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点(1,0)且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，
N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出
定直线方程；若不正确，请说明理由.
22. 已知21()2(1)ln (1)f x x x k x x x =-+--+，其中k R ∈，()()1
f x
g x x =-.
（1）当1k =时，求()g x 的单调区间，并证明：()0f x ≥；
（2）若对任意的0x >且1x ≠时，(0)f x <恒成立，求实数k 的取值范围.
月份x 34567均价y （百元/平方米）83
828078
77。