2020年江苏常州中考数学试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 2的相反数是（ ） A. 12-B. 12C. 2D. 2- 2.计算62m m ÷的结果是（ ）A. 3mB. 4mC. 8mD. 12m 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥 4.8的立方根是（ ）AB. ±2C.D. 25.如果x y <，那么下列不等式正确的是（ ） A. 22x y <B. 22x y -<-C. 11x y ->-D. 11x y +>+6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，//a b ，1140∠=︒，则2∠的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 7.如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8.如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，135,2ABD BD ADB S=∠=︒=．若反比例函数()0k y x x =>的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（ ）A. B. 4 C. D. 6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．10.若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是________． 11.地球半径大约是6400km ，将6400用科学记数法表示为________．12.分解因式：3x －x=__________．13.若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是__________． 14.若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．15.如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．17.如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠=_________．18.如图，在ABC 中，45,B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为_______．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =．20.解方程和不等式组：（1）2211x x x+=--； （2）260,3 6.x x -<⎧⎨-⎩21.为了解某校学生对球类运动喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中． （1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=>的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．的（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；（2）若10BD =，求ACD △面积．26.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________； ②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长． 27.如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A、的B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．28.如图，二次函数23y x bx =++的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点()1,0C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．参考答案1-8 DBCDA BAD9-18 3; x≠1; 36.410⨯; x （x+1）（x －1）; k ＞0; 1; 30; (2);12; 4或2; 19- 1x +；3先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可．【详解】解：2(1)(1)x x x +-+=2212x x x x ++--=1x +将x=2代入，原式=320.（1）x=0；（2）﹣2≤x ＜3【详解】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；（2）26036x x -<⎧⎨-⎩，①，② 由①得：x ＜3由①得：x≥﹣2则不等式组的解集为﹣2≤x ＜3．21.（1）100；（2）见解析；（3）300人．【详解】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100； 故答案为：100；（2）打乒乓球的人数为100×35%=35人，踢足球的人数为100－25－35－15=25人；补全条形统计图如图所示：（3）152000300100⨯=人； 答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有300人．.22.（1）13；（2）23【详解】解：（1）∵共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：46=23.23.（1）见解析；（2）60°【详解】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.24.（1）每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；（2）最多购买5千克苹果【详解】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，得：326 222 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：86x y =⎧⎨=⎩， 答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a ≤5，∴a 最大值为5，答：最多购买5千克苹果．25.（1）a=2；y=2x ；（2）635【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x①故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，()18105225S ⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭△ACD =635． 故△ACD 的面积为635． （2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．26.（1）1；（2）12π；（3）23OF = 【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF =∠BAC =30°，EF =BC =1，∴∠ACF =30°，∴∠ACF =∠ECF =30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF =30°，EF =1，∴CF =2，CE，由旋转的性质可得：CF=CA =2，CE=CGACG =∠ECF =30°， ∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG=223030236036012πππ⨯⨯-=； 故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1，∴1,22FH EH ==， ∴CH =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，22222234OE EH OH x x =+=+=+⎝⎭， ∵OB=OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =， ∴112263OF =+=．27.（1）①D ；10；②⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113【详解】解：（1）①⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB ·DE=2×5=10；②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，∵直线n 的函数表达式为4y =+，当x=0时，y=4；当y=0时，x =3-，∴直线n 经过点E （0，4），点F （3-，0），在Rt △EOF 中，∵tan ∠FEO=FO EO =34 ∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，Rt △HOF 中，∵sin ∠HFO=HO FO， ∴HO= sin ∠HFO ·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ ·PH=2×3=6，∴⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，∵点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k ≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k ≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤④-⑤得：-n=1k +m k，⑥ 联立方程③与方程⑥，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）； 又∵⊙F 关于直线l的“特征数”是F，∴NB ·NA=即·NA=解得：，∴[m-(-1)]2+(n-0)22，即(m+1)2+n 2=10， 把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13； 当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ∴点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113．∴直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113．28.（1）-4；（2）（3，0）或（53，89）；（3 【详解】解：（1）∵抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入23y x bx =++得0=1+b+3，解得b=-4，故答案为：-4；（2）由（1）可得抛物线解析式为：243y x x =-+，当x=0时，y=3，∴A 的坐标为（0，3），当y=3时得2343x x =-+，解得x 1=0，x 2=4，∴点B 的坐标为（4，3），∵()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为（2，-1），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH ⊥AB 于H ，DG ⊥CM 于G ，∴tan ∠ACH= tan ∠OAC=13，根据勾股定理可得BC=，BD=∴∴∠BCD=90°，∴tan ∠CBD=13， ∴∠ACH=∠CBM ，∵∠HCB=∠BCM=45°，∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB ，即∠ACB=∠CMD ，Q 在CD 上方时：若CQD ACB ∠=∠，则Q 与M 点重合，∵243y x x =-+中，令y=0，解得：x=1或3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥x 轴，过点C 作CL ⊥QM 于点L ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，可得：AB=4，BC=，设CN=x ，则BN=，在△ABC 中，2222AC CN AB BN -=-，即()22224x x -=-，解得：，∴cos ∠ACN=CN AC ， 设直线BD 的表达式为：y=mx+n ，将B ，D 代入得：3412m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：25m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的表达式为y=2m-5，令y=0，则x=52，即点M （52，0）， 设点Q 坐标为（a ，2a-5），则QK=5-2a ，CM=32，， ∵∠ACB=∠CMD ，∠ACB=∠CQD ，∴∠CMD=∠CQD ，即CQ=CM=32,∴cos ∠CQD=cos ∠ACB=QL CQ =∴QL=10，QM=5，CL=5， 在△CQM 中，1122CM KQ QM CL ⋅=⋅，即32KQ ⋅=，解得：KQ=65， ∴910=, ∴Q （1910，65-）， 设直线CQ 表达式为：y=sx+t ，将点C 和点Q 代入，0619510s t s t =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：4343s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则CQ 表达式：4433y x =-+，联立： 2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得5389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即点P 坐标为（53，89）， 综上：点P 的坐标为（3，0）或（53，89）；（3）设点C 关于BD 的对称点为C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N′， ∴R （3，1），设C′（p ，q ），由题意可求得：直线AC 表达式为：y=-3x+3，直线BD 表达式为：y=2x-5，直线BC 的表达式为：y=x-1，令-3x+3=2x-5，解得：x=85，则y=95-， ∴点N′（85，95-）， ∵点C 和C′关于直线BD 对称，∴CR=C′R=125=， 则有()()22231p q -+-=，2228955p q ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即222262501618110555p p q q p p q q ⎧-+-+=⎪⎨-+++=⎪⎩①②， ①-②得：12p q =-③，代入①， 解得：65q =-或0（舍），代入③中，得：175p =，解得：17565pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点C′（175，65-），∵N′（85，95-），求得直线C′N′的表达式为：1733y x=-，∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，∴点F（7，0），又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，可得∠BCF=45°=∠BCG，∴∠FCG=90°，∴CG=CF=6,∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），∴AG=。