两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入复习数轴上两点的距离公式. 设问一：
同学们能否用以前所学知
识解决以下问题：
已知两点P1 (x1，y1)，P2(x2，
y
2
)求|P1P2|
设置情境导入
新课
概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂
线，垂足分别为N1(0，y)，M2(x2，
0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.
在直角△ABC中，|P1P2|2= |P1Q|2
+ |QP2|2，为了计算其长度，过点
P
1
向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，
0)过点P2向y轴作垂线，垂足为
在教学过程中，可以提出
问题让学生自己思考，教
师提示，根据勾股定理，
不难得到.
通过提问思考
教师引导，使
学生体会两点
间距离公式形
成的过程.
N 2 (0，y 2)，于是有|P 1Q |2 = |M 2M 1|2
= |x 2 – x 1|2，
|QP 2|2 = |N 1N 2|2 = |y 2 – y 1|2. 由此得到两点间的距离公式
22
122121||()()
PP x x y y =-+- 应用举例
例1 已知点A (–1，2)，(2,7)
B 在x 轴上求一点，使|PA | = |PB |，并求|PA |的值.
解：设所求点P (x ，0)，于是有
2222
(1)(02)(2)(07)x x ++-=-+-∴x 2
+ 2x + 5 = x 2
– 4x + 11 解得x = 1
∴所求点P (1，0)且
22||(11)(02)22
PA =++-=
同步练习，书本112页第1、2题.
教师讲解思路，学生上台板书. 教师提问：还有其它的解
法，由学生思考，再讨论提出
解法二：由已知得，线段
AB 的中点为127(,)22
M +
，
直线AB 的斜率为
22722731
()||
32227
72
(12)(02)22
3
k x PA -+=
=⋅---=++-=线段AB 的垂直平分线的方程是
2731
()2227
y x +-
=⋅--
在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.
所以所求点P 的坐标为(1，0).因此
通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
22
||(12)(02)22 PA=++-=
例2 证明平行四边形四条边的
平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，
|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2
|AC|2 = (a + b)2 + c2，
|BD|2 = (b–a)2 + c2
所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =
2 (a2 + b2 + c2)
|AC|2– |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，此题让学生讨论解决，再
由学生归纳出解决上述问
题的基本步骤：
第一步：建立直角坐标系，
用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运
算.
第三步：把代数结果“翻
译”成几何关系.
思考：同学们是否还有其
它的解决办法？
还可用综合几何的方法证
明这道题.
让学生深刻体
会数形之间的
关系和转化，
并从中归纳出
应用代数问题
解决几何问题
的基本步骤.
|AB |2 + |CD |2 + |AD |2 + |BC |2
= |AC |2 + |BD |2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 归纳总结
主要讲述了两点间距离公式的推
导，以及应用，要懂得用代数的
方法解决几何问题，建立直角坐
标系的重要性. 师生共同总结 让学生更进一
步体会知识形
成过程
课后作业
布置作业
见习案3.3的第二课时.
由学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得：
22(3)(06)10x -+-= 解得：x = 11
或x = –5.
所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3).
AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨
--=⎩ 解2
5x y =⎧⎨=⎩
得
P (2，5).
（2）C 关于l 对称点324
(,
)55
C '
由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126
(,)77
P 时“=”成立， ∴1126
(,
)77
P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度.
【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2
1,
10
QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以
02
1022
a b ++++= 所以2
10
210
22
b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以
Q ′(–3，–1)
因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2
2(3)5
k --=
=-- l 1：21(2)5
y x -=-即2x – 5y + 1 = 0
（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′| = 29 所以沿这光线从P 到Q 的长度为29. 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.。