x)
i
d t
x 0
Q0(
x)得e
P(
x)
d
x
dx

C

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因此所求电流函数为
R
i
(t)

LEm R2 2L2

e
Rt L
LE Q
∼

R2
Em

2 L2
(R
sin
t


L
cos
t)
解的意义: 令 arctan L ,则
R
i(t)
ex ( 2 ex C1) 2 C1ex
利用 y x 0 0 得 C1 2
故有
y 2 2ex (0 x 1)
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y y 0 , x 1 2) 再解定解问题 y x 1 y(1) 2 2e1
此齐次线性方程的通解为 y C2 ex (x 1)
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
例如, 解方程 dy 1 dx x y
法1. 取 y 作自变量: dx x y dy
线性方程
法2. 作变换 u x y, 则 y u x, d y d u 1 dx dx
代入原方程得 d u 1 1 , dx u
du u 1 dx u
可分离变量方程
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伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z

e

1 x
dx


(a
ln
x)
e

1 x
dx
dx

C

x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
第四节
第七章
一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x) u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y


2(1ex ), 2(e 1) ex
,
0
x
x
1
1
y 2 2ex (0 x 1)
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LEm R2 2L2

e
Rt L

Em sin( t ) R2 2L2
暂态电流
稳态电流
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例3. 求方程
dx xy


2 y
x y3

dy

0
的通解
.
解: 注意 x, y 同号, 不妨设 x , y 0, 此时 dx 2d x , x
线性方程
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2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
y y 2, 0 x 1 y x0 0
y ed x 2 edxdx C1
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
2 (5) ; 6 ;
习题课1 第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
提示:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利 x sin x ex ) 2
故方程可变形为
这是以 x 为因变量
由一阶线性方程通解公式 , 得
y 为自变量的一阶 线性方程
xe

(
1 y
e

1 y
dy ln C
x
所求通解为 y e y C (C 0)
P(y) 1 2y
Q(y) 1 y
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*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
dt 因此有 E L di R i 0 , 即
di R i Em sin t
dt
dt L
L
初始条件: i t 0 0
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d i R i Em sin t
dt L
L
i t0 0
解方程:
利用一阶线性方程解的公式可得
R
LE Q
∼
C
由初始y 条e件:P(
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
dy 2y
2
dy 2 y ln x y2 dx x x
伯努利 方程
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作业
P315 1 (3) , (6) , (9) ; *8 (1) , (3) , (5)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(xy)dxdCxeCP(x)d x
故原方程的通解
y

e
P(
x)
d
x

Q(x)e P(x)d xdx

C

即
y C e P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
代入非齐次方程得 解得
u

2
(x
3
1) 2

C
3
故原方程通解为
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例2. 有一电路如图所示, 其中电源
R
电阻 R 和电
感 L 都是常量, 求电流
LE Q
解: 列方程 . 由回路电压定律:
∼
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
已知经过电阻 R 的电压降为R i
经过 L的电压降为 L di
非齐次方程特解
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例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dxdx C
2. 伯努利方程
令 u y1n , 化为线性方程求解.
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3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程