( yex )' 0
c 故 yex c 其中 为任意常数。
即方程（1.3.3）的通解为 y cex
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一般地，对方程
y' p(x)y 0
两端同乘以 exp( p(x)dx) 后得
y'exp( p(x)dx) p(x)y exp( p(x)dx) 0
即
( y exp( p(x)dx))' 0
u'(x) g(x) exp( g(x)dx)
u(x) c g(x) exp( g(x)dx)dx
整理得通解为：
y exp( p(x)dx) C g(x) exp( p(x)dx)dx
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线性微分方程解的性质:
1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。 2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。 3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍
g(x)
y(x0 ) y0
x
x
s
的解为
y
y0
exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
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例：2.1.3
设 f (x)是以 2 为周期的周期函数，a是正常
数，求微分方程 dy ay f (x)的2周期解。
dx
解：齐次方程 dy ay 0 的通解为 y ceax
整理得通解为
y c exp( p(x)dx)
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二、 线性非齐次方程
1.积分因子法
两种解法
给方程两边乘以函数 exp( p(x)dx) ，使左边
变成一个函数的导数，
[ y p(x) y]exp( p(x)dx) g(x) exp( p(x)dx)
整理得：
[ y exp( p(x)dx)] g(x) exp( p(x)dx)
为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。 5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
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初值问题
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
x
的解为
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
初值问题
dy
dx
p(x)y
LR
将初始条件 i(0) 0代入得: C E
R
故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
i(t) E [1 exp( R t)]
R
L
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例2 湖泊的污染 设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流 入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀 的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污 1年时, 湖泊水中盐酸的含量. 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t),
2
代入初值条件得 y 1 (x x3)
2
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四、 线性微分方程的应用举例
例1：RL串联电路由电阻、电感、 电源组成的串联电路，求开 E 关闭合后电路中的电流强度 i(t).
R i i(t)
L
解：当电路中电流为i(t ) 时，在R上的电压降为Ri (t ) 在电感上的电压降为 L di(t) dt 由Kirchhoff回路电压定律知：
沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。
我们得到电流 i(t) 所满足的微分方程为：
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L di(t) Ri(t) E
dt
取开关闭合时刻为0，则
i(0)
0 又 ip (t)
E R
是方程特解，求得齐次方程通解为t
因此,得到通解: i(t) C exp( R t) E
积分得通解：
y exp( p(x)dx) C g(x) exp( p(x)dx)dx
exp( p(x)dx) 称为方程的积分因子。
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2.常数变易法 思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为 函数，代入原方程后确定出该方程的通解。 先求（2.1.1）对应的齐次方程的通解为：
dx
方程 dy ay f (x) 的通解为 dx
y ceax x ea(xs) f (s)ds 0
为了使 y以 2 为周期，须满足
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cea(x2 ) x2 ea(x2 s) f (s)ds ceax x ea(xs) f (s)ds.
0
0
整理得
c(1 e2a ) 0x2 ea(2 s) f (s)ds 0xeas f (s)ds
故 x(t) 3080 [4000 0.02t 4000( 4000 )50].
51
4000 0.02t
x(8760) 223824(kg).
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（1.3.2）
为线性齐次方程。 求解思想：
将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某 一个函数的导数，再进行积分求解。
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例1.3.1 求线性齐次方程
y' y 0
的通解。
（1.3.3）
解：对于（1.3.3）的两端乘以 e x 得
y'ex yex 0
由于( yex )' y'ex yex 故（1.3.3）等价于
f (x)以 2 为周期 （令s 2 t ）
0x2 ea(2 s) f (s)ds x2 eas f (s)ds 0xeas f (s)ds
c
1
1 e2 a
0 eas f (s)ds
2
将c 代入得
y
1 e2a 1
02
ea(sx)
f
(s)ds
0xea(sx)
f
(s)ds
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二、 Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn d y
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n) Q(x) (线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
考虑 [t,t t] 内湖泊中盐酸的变化.
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x(t t) x(t) 20 3.08t 1000 t
x(t)
4000000 20t
因此有 dx 100x 61.6, x(0) 0.
dt 400000 2t
该方程有积分因子
(t) exp(
100 dt) (4000 0.02t)50
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§1.3 线性方程
定义
一阶微分方程
y ' p(x) y g(x)
（1.3.1）
若关于未知函数 y 和 y '是线性的，称为线性方程。
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一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，称
y' p(x)y 0
y c exp( p(x)dx)
再把通解表达式中的常数C换成一个待定函数u(x) 。
即令 y u(x) exp( p(x)dx)
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y ' u '(x)exp( p(x)dx) u(x) exp( p(x)dx)( p(x))
将 y和 y ' 代入 y' p(x) y g(x) 得
400000 2t
两边同乘以 (t) 后,整理得
d [x(4000 0.02t)50] 61.6(4000 0.02t)50 dt
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积分得
(4000 0.02t)50 x 3080 (400 0.02t)51 C 51
利用初始条件得
C 3080 (4000)51 51
一阶微分方程
微分方程课程的一个主要问题是求解， 即把微分 方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来， 但对一般的微分方程是无法求解的，如对一般的 二元函数 f (x, y) ，我们无法求出一阶微分方程
y f (x, y)
（1）
的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转 化为已解决的问题进行求解。
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例1.3.5求初值问题
dy y x2 ，y(1) 1 的解。 dx 2x 2y 解：方程两边同乘以2y后得 2 y dy y2 x2
dx x
令 z y2 代入得 dz z x2 dx x
通解为 z Cx 1 x3
2
将 z y2 代入得 y2 Cx 1 x3