从命题逻辑到谓词逻辑命题逻辑研究的基本元素是命题。
命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。
因此，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。
例如，逻辑学中著名的三段论：凡人必死张三是人张三必死在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。
因为，如果用P代表“凡人必死”这个命题，Q代表“张三是人”这个命题，R代表“张三必死”这个命题，则按照三段论，R应该是P和Q的逻辑结果。
但是，在命题逻辑中，R 却不是P和Q的逻辑结果，因为公式P∧Q→R显然不是恒真的，解释{P，Q，¬R}就能弄假上面的公式。
发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即PÙQ®R，使R成为一个与P，Q 无关的独立命题。
因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而弄假公式P∧Q→R。
但是，实际上命题R是和命题P，Q有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。
因此，对命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。
为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。
在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。
例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。
定义3.1.1 可以独立存在的物体称为个体。
（它可以是抽象的，也可以是具体的。
）如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。
在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。
定义3.1.2 设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数，称为n 元命题函数或n元谓词。
其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。
一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。
0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。
下面我们举一个谓词的例子：令G(x，y)：“x高于y”，于是，G(x，y)是一个二元谓词。
将x代以个体“张三”，y 代以个体“李四”，则G(张三，李四)就是命题：“张三高于李四”。
随便将x，y代以确定的个体，由G(x，y)都能得到一个命题。
但是，G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。
于是，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化：令H(x)表示“x是人”，M(x)表示“x必死”。
则三段论的三个命题表示如下：P：H(x)→M(x)Q： H(张三)R： M(张三)那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢?下面的例子说明，仅有谓词还是不够的。
例如我们想得到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”ØP。
但是，¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x)亦即，“命题”P的否定“命题”是“所有人都不死”。
这和人们日常对命题“所有人都必死”的否定的理解，相差得实在太远了。
其原因在于，命题P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x必死”。
但是H(x)→M(x)中并没有确切的表示出“对任意x”这个意思，亦即H(x)®M(x)不是一个命题。
因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进“对任意x”这个语句，及其对偶的语句“存在一个x”。
定义3.1.3 语句“对任意x”称为全称量词，记以∀x；语句“存在一个x”称为存在量词，记以∃x。
这时，命题P就可确切地符号化如下：∀x(H(x)→M(x))命题P的否定命题为：¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃ x(H(x)∨¬M(x))亦即“有一个人是不死的”。
这个命题确实是“所有人都要死”的否定。
¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∨¬M(x) 应为H(x)∧¬M(x)¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃ x(H(x)∨¬M(x)) 应为=∃ x(H(x)∧¬M(x))---------------------------------------解释由于公式是由常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号通过逻辑联结词和量词(当然还有括号)连结起来的抽象符号串，所以若不对它们(常量符号，变量符号，函数符号，谓词符号)给以具体解释，则公式是没有实在意思的。
所谓给公式以解释，就是将公式中的常量符号指为常量，函数符号指为函数，谓词符号指为谓词。
定义3.2.4 谓词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：1. 对每个常量符号，指定D中一个元素；2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定Dn到D的一个映射；3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到{0，1}的一个映射。
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。
若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
定义3.3.1 公式G，H称为等价，记以G=H，如果公式G↔H是恒真的。
由定义显然可以看出：公式G，H等价的充要条件是：对G，H的任意解释I，G，H在I下的真值相同。
因为对任意公式G，H，在解释I下，G，H就是两个命题，所以命题逻辑中给出的10组基本等价式，在谓词逻辑中仍然成立。
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H，或H是G的逻辑结果，如果公式G→H是恒真的，并记以G⇒H。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H的充要条件是：对任意解释I，若I满足G，则I必满足H。
同样，命题逻辑中的14 组基本蕴涵式仍成立。
现在，我们再回到三段论上来。
令G1 =∀x(H(x)→M(x))G2=H(a)H=M(a)我们将证明：H是G1∨G2的逻辑结果。
因为，设I是G1 ，G2，H的一个解释(I指定a为张三)，且I满足G1 ∧G2，即I满足∀x(H(x)→M(x))∧H(a)所以，I满足M(a)。
由于集合D可以是无穷集合，而集合D的“数目”也可能是无穷多个，因此，所谓公式的“所有”解释，实际上是无法考虑的。
这就使得谓词逻辑中公式的恒真，恒假性的判断变得异常困难。
1936年Church和Turing分别独立地证明了：对于谓词逻辑，判定问题是不可解的谓词演算的推理理论利用命题公式间的各种等价和蕴涵关系，通过一些推理规则，从已知的命题公式推出另一些新的命题公式。
这是命题演算中的推理。
类似地，利用谓词公式间的各种等价和蕴涵关系，通过一些推理规则，从一些已知的谓词公式推出另一些新的谓词公式，这是谓词演算中的推理。
在谓词演算中，要进行正确的推理，也必须构造一个结构严谨的形式证明，因此也要求给出一些相应的推理规则。
下面我们就介绍这些规则，对于命题逻辑公式也可以应用相应的规则进行演算。
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引用前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以在其后的证明中引用。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，公式的子公式都可以用与之等价的其他公式置换。
（4）代入规则：在证明的任何步骤上，恒真公式中的任一原子都可以用一公式代入，得到的仍是恒真的公式。
（5）全称特定化规则（US）：∀xA(x)⇒ A(y)这里的A(y)是将A(x)中的x处处代以y。
要求y在A(x)中不约束出现。
这里自由变量y也可以写成个体常量c，这时c为个体域中任意一个确定的个体。
这个规则的意思是说，如果个体域的所有元素都具有性质A，则个体域中的任一个元素具有性质A。
（6）存在特定化规则（ES）：∃xA(x) ⇒ A©这里c是个体域中的某个确定的个体。
这个规则是说，如果个体域中存在有性质A的元素，则个体域中必有某一元素c具有性质A。
但是，如果∃xA(x)中有其它自由变量出现，且x 是随其它自由变量的值而变，那么就不存在唯一的c使得A©对自由变量的任意值都是成立的。
这时，就不能应用存在特定化规则。
例如，∃x（x=y）中，x、y的论域是实数集合。
若使用ES规则，则得c=y，即在实数集中有一实数c，等于任意实数y。
结论显然不成立，这是因为A(x)：x=y中的x依赖于自由变量y，此时不能使用ES规则。
另外，要注意的是，如果∃xP(x)和∃xQ(x)都真，则对于某个c和某个d，可以断定P© ∧Q(d)必真，但不能断定P© ∧Q©为真。
（7）全称一般化规则（UG）：A(x)⇒∀yA(y)这个规则是说，如果个体域中任意一个个体都具有性质A，则个体域中的全体个体都具有性质A。
这里要求x必须为自由变量，并且y不出现在A(x)中。
（8）存在一般化规则（EG）：A©⇒∃yA(y)这个规则是说，如果个体域中某一元素c具有性质A，则个体域中存在着具有性质A的元素。
这里要求y不在A©中出现。
令G1 =∀x(H(x)→M(x))G2=H(a)H=M(a)我们将证明：H是G1∨G2的逻辑结果。
应为G1∧G2------------------------------------------------------引理1 设G是公式，其中自由变量有且仅有一个x，记以G(x)，H是不含变量x的公式，于是有：1) ∀x(G(x)∨H)=∀xG(x)∨H1’∃x(G(x)∨H)=∃xG(x)∨H2) ∀x(G(x)∧H)=∀xG(x)∧H2’∃x(G(x)∧H)=∃xG(x)∧H3) ¬(∀xG(x))=∃x(¬G(x))4) ¬(∃xG(x))=∀x(¬G(x))引理2 设G，H是两个公式，其中自由变量有且只有一个x，分别记以G(x)，H(x)，于是有：1) ∀xG(x)∧∀xH(x)=∀x(G(x)∧H(x))2) ∃xG(x)∨∃xH(x)=∃x(G(x)∨H(x))3)∀xG(x)∨∀xH(x)=∀x∀y(G(x)∨H(y))4)∃xG(x)∧∃xH(x)=∃x∃y(G(x) ∧H(y))。