当前位置:文档之家› 逻辑学 谓词逻辑

逻辑学 谓词逻辑


在传统逻辑中,含有全称量词的命题是全称命题, 含有存在量词的命题是特称命题。在现代逻辑中, 全称量词用“∨”和个体变元表示,如“所有x”或 “任何x”均记为“∨x ”。 存在量词用“?”和个体变元表示,如“有x”、 “存在x”、“至少有一个x”,均记为“?x”。 “∨x”和“?x”都是符号化量词,即逻辑的量词,它 们的意义是确定的,都是逻辑常项。
3.专有名词和二元谓词的符号化 (6)小李没有同任何人吵架。 如果用a表示专有名词“小李”,用D表示二元谓词 “…同…吵架”,用M表示“是人”,那么例(6) 可译为: ∨x(Mx→—Dax) (7)有些大一学生认识小李。 如果用F表示“是大一学生”,用R表示“认识”,则 例(7)可译为: ?X(Fx∧Rxa) 注意:以上对命题符号化时,由于没有限制论域(个 体域、变域),论域就包括整个宇宙中所有个体(事 物)的集合,即全域。但我们通常在一定的范围内讨 论问题,所以个体变元的论域被限制在一个特定范围 内,量词也就只表示这个特定范围内个体数量的语词。
第二,对个体变元加以量化。例如,在论域D中对 Fx进一步断定:对于所有的x来说,Fx成立;或者 断定:至少存在着一个x,Fx成立。 也就是断定:所有的个体是紫色的;或者断定:至 少有一个是紫色的。这样的断定就是命题,它们有 真假。 在量化过程中,我们使用了量词这类对谓词逻辑来 讲非常重要的语词。因此,需要把命题划分为个体 词、谓词、量词。 量词就是表示论域D中个体词数量的语词。量词分 为两种:一种是全称量词,如“每一个”、“所 有”、“凡”等,它们指称论域D中个体的全部; 另一种是存在量词,如“存在”、“有些”、“有” 等,它们指称论域D中个体至少有一个存在。
由此可见,命题至少可分为两部分:一是指称事物的 那部分,如“我”、“王五”、“李四”;二是指称 性质或关系的那部分,如“是学生”、“…是…的朋 友”。 应当指出的是,这里所谓的事物是极其广泛的,指客 观存在的个体,包括有形的自然实体(如某个人)和 无形的抽象客体(如某个自然数)。这些广泛的一个 事物统称为个体。 性质和关系则是依附个体、说明个体的,如“是红 的”、“大于”等等。性质和关系统称为属性。 表示个体的语词叫个体词。在自然语言中,个体词一 般是名词。如“马克思”、“北京”、“世界上最高 的山”等。 表示属性的语词叫谓词。在自然语言中,谓词通常是 联结词加形容词或名词组成词组,或者就是动词或动 词词组。如“是光荣的”、“是导体”、“大于”、
二、个体词与谓词
1.个体词、谓词的涵义 在谓词逻辑中,命题被分解为个体词、谓词和量 词(以及联结词)这些更小的逻辑单位。 那么,简单命题从内容上不外乎两类:一类表达 事物具有或不具有某种性质;一类表达事物与事 物之间具有或不具有某种关系。例如, (1)我是学生。 表达“我”这个人具有“学生”这一性质。 (2)王五不是李四的朋友。 指出名叫“王五”和“李四”的两个人之间没有 “朋友”这种关系。
因此,命题一旦被分解为个体词和谓词后,对于原来 只能用命题变元表示的简单命题,现在可以用较小的 逻辑单位更精确地符号化了。 比如,如果用a表示专有名称“张三”,用D表示一 元谓词“会死”。那么命题: 张三会死。可表示为Da。 读时,先读个体符号词,后读谓词符号。 如果用F表示二元谓词“…是…的朋友”,那么: Fxy表示x是y的朋友; —Fxy表示x不是y的朋友。 对于命题逻辑中的5个联结词:
因此,全称肯定命题应译成蕴含式: ∨x(x是自然数→x大于零) 如果用N和E分别表示“是自然数”、“大于零”。那 么例(2)的完全符号化为: ∨x(Nx→Ex) (3)所有大学生都不是儿童。 如果用S表示“是大学生”,用C表示“是儿童”,则 全称否定命题可以符号化为: ∨x(Sx→—Cx) 读成:“对所有x而言,如果x是大学生,那么x不是儿 童”。 可见,全称命题一般应译为蕴含式。
例如,如果我们以自然数作为个体域D,那么∨x这个 量词就只表示“所有的自然数”,这样例(2)就可以 符号化为: ∨xEx。 如果以大学生为个体论域D,?x就表示“至少一个大 学生”。这样例(4)就可符号化为:?xCx。 对一个命题可以采用限制或不限制论域这两种方式把 它形式化。 (8)有的学生做对所有试题。 如果用S表示“是学生”,T表示“是试题”,R表示 “做对”,那么如果不限制论域,例(8)可以形式化 为: ?X(Sx∧∨y(Ty→Rxy)) 如果把个体变元x的变域限制为X=学生,把个体变元y 飞变域限制为Y=试题。那么,例(8)可形式化为: ?x∨yRxy
2. “….元谓词”的表述 谓词是用于说明个体词的。 说明一个个体词的谓词是一元谓词,如“…是光荣 的”、“…是导体”; 说明两个个体词的谓词是二元谓词,如“…是…的 朋友”、“…大于…”等; 说明三个个体词的谓词是三元谓词,如“…在… 和…之间”、“…在…和…之后”等; 依次类推,说明n个个体词的谓词是n元谓词。
表示性质或关系的符号是谓词符号,记为大写的: D,E,F,G,H,I,…。 谓词符号和个体词符号结合后形成的公式,可以刻画 形式简单的语句。其中,与个体变元结合后, 一元谓词形成的公式可记为:Dx,Ex,Fx,…; 二元谓词形成的公式可记为:Dxy,Exy,Fxy,…;或者, xDy,xEy,xFy,…; n元谓词形成的公式可记为:Dx1x2x3….xn, Ex1x2x3….xn , Fx1x2x3….xn,…。
∧、∨、→、←→ 、—仍在原来的意义上使用。
三、量词
1.量词的涵义 前面讲到可将命题分为个体词和谓词。但是,仅 仅包含个体词和谓词的表达式也不全部都是具有 真假的简单命题。 如,语句Fx断定“x是紫色的”,但由于x是指称 不确定个体的个体变元,因而Fx没有真假,不是 命题,是没有真假的命题函数,即从个体到真值 的函数。这种语句,有时称为开语句。 那么,如何使得Fx这样的表达式有真假呢?可采 取两种方法。 第一,用个体常项代替个体变元。如,令a表示 “这朵玫瑰花”,那么Fa就表示语句“这朵玫瑰 花是紫色的”。这种语句称为闭语句。闭语句是 有真假的命题。
3.个体词、谓词的符号化 对于一个简单命题而言,至少可将其分解为两部分: 个体词、谓词。那么,如何将个体词和谓词用符号化 来表示呢? 我们总是在一定范围内讨论个体的性质、个体之间的 关系。表示个体词的符号一般由个体变元和个体常项。 个体变元表示一定范围内的不确定个体,记为小写的: x,y,z,…;x1,x2,x3,…; 个体常项表示一定范围内确定的个体,记为小写的: a,b,c,…; 个体变元的变化范围即变域,逻辑上一般称为论域或 个体域,记为D。个体词就是指称D中个体的语词。
而谓词逻辑和命题逻辑不一样,在谓词逻辑中,简单 命题不是被当作基本单位来讨论,而是要讨论其内部 结构,以此作为出发点展开推演。例如, 所有的作案者都有作案动机, 某甲没有作案动机, 所以,某甲不是作案者。 这个推理的前提和结论都是简单命题,推理的根据主 要涉及量词。这种关于量词的推理理论,现代逻辑称 为谓词逻辑。 谓词逻辑是命题逻辑的发展。与命题逻辑不同,它把 简单命题加以分析,区别出哪些是个体词,哪些是谓 词,哪些是量词,抽象出它们的形式,然后研究这些 命题形式的逻辑性质和关系,找出有效推理的形式和 规律。考察和研究这一部分的逻辑理论,就构成了谓 词逻辑。
第十章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
一、命题逻辑与谓词逻辑 二、个体词与谓词 三、量词
一、命题逻辑与谓词逻辑
通过前面关于命题逻辑的学习,我们知道命题逻 辑是关于联结词的推理理论。在命题逻辑中,简 单命题被当做基本单位来讨论,简单命题分为: 主项、谓项、联项、量项,对其内部结构不再分 析。如,
如果某甲作案,那么他一定有作案动机, 某甲没有作案动机, 所以,某甲没作案。 这个推理的根据就是关于“如果,那么”的推导 规则。这种关于联结词的推理理论,就是命题逻 辑。
(4)有的大学生是儿童。 可符号化为:?x(Sx∧Cx) 读作:“存在x,x 是大学生而且x是儿童”。 (5)有人不是中国人。 如果用H表示“是人”,用C表示“是中国人”,则 可将命题(5)符号化为: ?x(Hx∧—Cx) 可见,特称命题一般译为合取式。那么,SAP、SEP、 SIP、SOP四种命题形式,如果s不是个体词,那么可 取谓词语言(S,P),其中s、p都是一元谓词,则可 以得到这些命题在谓词逻辑中对应的符号化形式。 (见板书)如果s是个体词,此时没有形如SIP、SOP 的命题,而SAP、SEP在谓词逻辑中的形式。(见板书)
2.直言命题的符号化形式 AEIO四种直言命题,均可以通过谓词逻辑将其符号化。 例如,(1)凡事物都是发展的。 如果用x表示(1)的个体词,用D表示谓词“是发展 的”,那么(1)可表示为:∨xDx。 读成:“对所有x而言,x都是发展的。” (2)凡自然数都大于零。 如果不限制论域,那么这个命题的翻译比较复杂,它 不能写成:∨x(x都大于零)。因为其是说:“对于 所有的x,x都大于零”。由于对论域没加限制,所以 个体变元可以泛指宇宙中的任何个体。这样其意指宇 宙中所有个体均大于零,这和(2)的含义不符。

相关主题